Oberfläche eines Körpers berechnen (Kegel, Zylinder und Halbkugel)

Question

Ein Körper besteht aus einem Kegel, einem Zylinder und einer Halbkugel mit dem Radius r = 6cm. Die drei Teilkörper sind volumengleich.

Berechne die Oberfläche des Körpers.

Leider weiß ich nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll und wäre für Lösungsvorschläge sehr dankbar.

Vielen lieben Dank!! :)

Comments

Du kannst das Volumen der Halbkugel berechnen. Die anderen Teilkörper haben dasselbe Volumen. Also kannst du damit die restlichen fehlenden Größen berechnen. Für die Sehne des Kegels brauchst du den Satz des Pythagoras (fall es nicht in deiner Formelsammlung steht).

Answer 1

sagen wir mal die Halbkugel hat radius r, dann ist ihr Volumen

V1 = (2/3) * pi * r^3   und ihr Beitrag zur Oberfläche des

zusammengesetzen Körpers ist  O1= 2*pi*r^2

Der Zylinder hat gleiches r und gleiches Volumen, für

ihn gilt   V2 =  r^2 * pi * h

und wegne V1 = V2 also

(2/3) * pi * r^3 =   r^2 * pi * h

(2/3) * r = h

Sein Beitrag zur Oberfläche des zusammengesetzten Körpers

ist nur seine Mantelfläche   M = 2*pi*r*h = 2 *pi* r * (2/3) * r =  (4/3)*pi*r^2 .

Der Kegel hat das Volumen  V3 =  1/3 * r^2 *pi * H  

( das H ist natürlich nicht gleich dem h des Zylinders )

wegen V1 = V3 ist wieder

1/3 * r^2 *pi * H  =  (2/3) * pi * r^3

H =  2*r  und sein Beitrag zur Oberfläche

ist wieder nur der Mantel M2= pi * r * s

und für das s gilt mit Pythagoras  s^2 = r^2 + H^2

also                      s^2 = r^2 + (2r)^2         = 5r^2

also   s = r* wurzel(5) .

also M2 =     pi * r * r* wurzel(5)  = pi * r^2 * wurzel(5) 

also gesamte Mantelfläche

M_ges = O1 + M + M2 = 2*pi*r^2+  (4/3)*pi*r^2   +  pi * r^2 * wurzel(5) 

= pi * r^2 * (  10/3 + wurzel(5)  )