Differenzierbarkeit durch Definition der Ableitung benutzen

Question

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Zeige (nur durch Benutzen der Definition der Ableitung), dass f(x)=1/x^2 in ℝ / 0 differenzierbar ist, und dass f´(x)= -2/x^3 für x ∈ ℝ / 0 ist.

Answer 1

du sollst zeigen, dass für \(x \in \mathbb{R} \setminus\{0\} \) gilt:

$$ \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = -\frac{2}{x^3} $$

Gruß

Comments

Meinst du \(\pmb\in\) ?

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Oder \(\neq 0\) kann dir auch nicht sagen wie ich da gestolpert bin :D. Danke, hab es korrigiert.

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kannst du mir das vielleicht bisschen ausführlicher erklären? ich bin noch sehr neu in dem Gebiet ^^

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Das Beispiel ist dafür nicht so günstig aber ok. Du berechnest hier für ein beliebiges \(x\neq0\) den Grenzwert

$$ \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h} $$

Im Augenblick laufen Zähler und Nenner separat betrachtet ja gegen 0, was ein Problem ist. Versuche den Term nun oben umzuformen, so dass sich \(h\) kürzen lässt und du die genannte Problematik nicht mehr hast.

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Danke für deine Hilfe ich fange langsam an es zu verstehen^^. Ich habe es jetzt geschafft bis

(-h-2x) / (x²h² +2hx³ + x⁴ )

zu kürzen. Wie geht es es nun weiter?? Für h 0einsetzen?? Dann würde ich nämlich auf das Ergebnis kommen.

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Hab mir die blöde Frage schon selbst beantwortet ^^ Eine Frage hätte ich da noch. Ist damit die Differenzierbarkeit und die Ableitung gleichteitig bewiesen?

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Ja genau, ab diesem Punkt kannst du ja \(h\) gegen Null laufen lassen, Zähler und Nenner sind dann nicht mehr Null. Schön, dass du von alleine drauf gekommen bist.

Ja ist beides damit gezeigt.