Andere Definition für Differenzierbarkeit

Question

Aufgabe:

Gibt es eine andere Definition für die Differenzierbarkeit an einer Stelle \(x_0\)?
Problem/Ansatz:

Die Definition für die Differenzierbarkeit an einer Stelle \(x_0\) lautet kurz gesagt: \(f\) ist an der Stelle \(x_0\) differenzierbar, wenn der Grenzwert $$\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ existiert. Ich stelle mir allerdings die Frage, ob es noch eine andere Definition für die Differenzierbarkeit, allerdings ohne Grenzwert, gibt.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du könntest über die Existenz einer Tangente gehen...

Eine Funktion \(f(x)\) ist differenzierbar an der Stelle \(x_0\), wenn eine Gerade$$g(x)=f(x_0)+m\cdot(x-x_0)$$existiert, die die Funktion \(f(x)\) im Punkt \((x_0|f(x_0))\) berührt.

Eine solche Gerade nennen wir eine Tangente an die Funktion im Punkt \((x_0|f(x_0))\) und die Steigung \(m\) dieser Tangente heißt die Ableitung der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\).

Comments

Wie definierst du "berühren" ohne einen Steigungs- oder Ableitungsbegriff ?

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Diesen Gedanken hatte ich auch schon. Aber wie Gast hj2166 schon sagt, stellt sich an dieser Stelle die Frage, wie man "Berührung" erklärt. Die Berührung entsteht ja durch den Übergang von der Sekanten- zur Tangentensteigung (Grenzwert).

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Eine Funktion \(f(x)\) ist differenzierbar an der Stelle \(x_0\), wenn eine Gerade$$g(x)=f(x_0)+m\cdot(x-x_0)$$existiert, die die Funktion \(f(x)\) im Punkt \((x_0|f(x_0))\) berührt.

Ah, ja.

Die Gerade g(x)=0,5x berührt den Graphen von f(x)=|x| an der Stelle x=0.

Ist g(x) nach dem "Satz von Tschaka" jetzt Tangente?

Ich will mal gar nicht von abschnittsweise definierten Funktionen reden, die an ihrer eventuell vorhandenen Sprungstelle nicht mal stetig sind...

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@Lehrer074
Es gibt das Konzept der infinitesimalen Linearität, der das "Berühren" mathematisiert.

Implizit ist natürlich auch ein Grenzwert enthalten. Man kann auch schnell die Äquivalenz zur Differenzierbarkeit per Differenzenquotienten verifizieren.

Eine in einer Umgebung von \(x_0 \in \mathbb R\) definierte reellwertige Funktion \(f\) heißt infinitesimal linear bei \(x_0\), wenn es eine Konstante c gibt, sodass
$$f(x) = f(x_0) + c(x-x_0) + o(x-x_0)$$

Dabei bedeutet \(o(x-x_0)\), dass \(\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{o(x-x_0)}{x-x_0}=0\).

D.h., etwas lax formuliert, f lässt sich in der Nähe von \(x_0\) gut durch ein Geradenstück approximieren.

Der Vorteil hier ist, dass man den Sekanten-Tangenten-Übergang nicht explizit braucht.

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@translocation, ja dieses Prinzip kenne ich auch. Bei uns hieß es lineare Approximation. Allerdings bin ich wirklich auf der Suche nach einem anderen Differenzierbarkeitsbegriff, bzw. eine andere Definition für die Ableitung, der sich vom Grenzwertbegriff entfernt :) In den grundlegenden Analysis-Büchern findet man immer nur die Grenzwertdefinition oder eben die lineare Approximation.