Nachweisen, dass die Inverse einer bijekten linearen Abbildung linear ist

Question

Hallo zusammen.

Ich habe folgende Aufgabe bekommen:

$$\text{Weisen Sie nach, dass die Inverse } f^{-1} \text{ einer bijektiven linearen Abbildung } \\f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n \text{ auch linear ist.}$$

Ich habe leider keine Idee, wie ich dies nachweisen soll.

Könnte mir jemand dabei helfen.

Vielen Dank!

Answer 1

Weil f linear ist, gilt für \(u,v \in \R^n \) und \(s,t \in \R\):

$$f(sf^{-1}(v)+tf^{-1}(w))=sv+tw$$

Daher

$$f^{-1}(sv+tw)=sf^{-1}(v)+tf^{-1}(w)$$