Inverse Abbildung F^-1 bestimmen

Question

Aufgabe:

\( F: \mathbb{R}_{\leq 3}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{2,2} ; \quad a x^{3}+b x^{2}+c x+d \mapsto\left(\begin{array}{cc}{-2 a} & {c-d} \\ {c+b} & {a-b}\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe das Prinzip, wie man eine Inverse bildet, jedoch komme ich hier nicht auf das Ergebnis.

Meine Abbildung F^-1\( \begin{pmatrix} u & v \\ r & s \end{pmatrix} \)= -u/2x³+(w-r)x²+(w+v)x+(u-r)

zur Überprüfung muss das ja gelten

F(F^-1\( \begin{pmatrix} u & v \\ r & s \end{pmatrix} \))=\( \begin{pmatrix} u & v \\ r & s \end{pmatrix} \)

aber wenn ich das berechne klappt es nicht, nur sehe ich meinen Fehler nicht.Danke für die Hilfe.

Answer 1

Hallo,

ich sehe  nicht, woher das w in deiner Lösung kommen soll.

\(F^{-1}:ℝ^{2,2}→ℝ_{≤3}[x]\)

\(\begin{pmatrix} u&v\\ r&s\end{pmatrix}\)

           ↦    \(\frac{1}{2}·[-u·x^3-(u+2s)·x^2+(u+2r+2s)·x+2r+2s+u-2v] \)

denn es gilt das LGS

- 2·a = u  ∧  c - d = v  ∧  c + b = r  ∧  a - b = s

mit den Unbekannten a , b, c und d    mit der eindeutigen Lösung 

a = - u/2  ∧  b = - (u + 2s)/2  ∧  c = (u +2·r + 2·s)/2  ∧  d = r + (2·s + u - 2·v)/2

Gruß Wolfgang

Comments

Sorry habe mich mit dem w oben verschrieben, herzlichen dank, jetzt weiß ich wo mein fehler lag!

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immer wieder gern :-)