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Aufgabe:

f: R3 -> R3, (x1,x2,x3) → (x1+2*x2-x3, x2+x3, -x1-x2)

Hat f eine Umkehrabbildng? Begründen Sie Ihre Antwort. Falls f eine Umkehrabbildung hat, dann bestimmen Sie die Matrix dieser Umkehrabbildung.


Problem/Ansatz:

Habe hier ein Beispiel im dreidimensionalen Raum, bei dem ich eigentlich so gut wie kein Plan habe. Damit f eine Umkehrabbildung sein muss glaub ich, muss es bijektiv(injektiv + surjektiv) sein oder? Auf den ersten Blick würde ich schon sagen, dass es bijektiv ist, weiß aber nicht so ganz wie ich das zeigen soll. Außerdem wüsste ich nicht wie genau die Matrix eine Umkehrabbildung auszusehen hat.

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schreibe die Abbildung zunächst als Matrixf(x)=(121011110)x=Axf(x) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0& 1& 1\\ -1& -1& 0\end{pmatrix} \cdot x = A \cdot xEine Umkehrabbildung liegt vor, wenn folgende Zuweisung existiertx=Bf(x)x = B \cdot f(x)Multipliziere dazu die erste Gleichung von links mit A1A^{-1}A1f(x)=A1Ax=Ex=x    x=A1f(x)A^{-1} \cdot f(x) = A^{-1} \cdot A \cdot x = E \cdot x = x \\ \implies x = A^{-1} \cdot f(x)(EE ist die Einheitsmatrix). Demnach istB=A1B = A^{-1}Die Umkehrabbildung existiert also genau dann, wenn AA invertierbar ist, bzw. det(A)0\det(A)\ne 0 ist.det(A)=2\det(A) = -2Also ja - die Umkehrabbildung existiert und B=A1=12(113111111)B= A^{-1} = \frac 12 \begin{pmatrix} -1& -1& -3\\ 1& 1& 1\\ -1& 1& -1 \end{pmatrix}Gruß Werner

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Danke, hatte die Fragestellung leider komplett missverstanden

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Nimm doch die Matrix von f

1    2   -1
0    1     1
-1   -1    0

und zeige: Die ist invertierbar, dann hast du auch gleich die

Matrix der Umkehrabbildung:

-0,5    -0,5     -1,5
0,5      0,5       0,5
-0,5    0,5       -0,5

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