Umkehrabbildung einer lInearen Abbildung in R^3 bestimmen

Question

Aufgabe:

f: R³ -> R³, (x1,x2,x3) → (x1+2*x2-x3, x2+x3, -x1-x2)

Hat f eine Umkehrabbildng? Begründen Sie Ihre Antwort. Falls f eine Umkehrabbildung hat, dann bestimmen Sie die Matrix dieser Umkehrabbildung.

Problem/Ansatz:

Habe hier ein Beispiel im dreidimensionalen Raum, bei dem ich eigentlich so gut wie kein Plan habe. Damit f eine Umkehrabbildung sein muss glaub ich, muss es bijektiv(injektiv + surjektiv) sein oder? Auf den ersten Blick würde ich schon sagen, dass es bijektiv ist, weiß aber nicht so ganz wie ich das zeigen soll. Außerdem wüsste ich nicht wie genau die Matrix eine Umkehrabbildung auszusehen hat.

Answer 1

schreibe die Abbildung zunächst als Matrix$$f(x) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0& 1& 1\\ -1& -1& 0\end{pmatrix} \cdot x = A \cdot x$$Eine Umkehrabbildung liegt vor, wenn folgende Zuweisung existiert$$x = B \cdot f(x)$$Multipliziere dazu die erste Gleichung von links mit \(A^{-1}\)$$A^{-1} \cdot f(x) = A^{-1} \cdot A \cdot x = E \cdot x = x \\ \implies x = A^{-1} \cdot f(x)$$(\(E\) ist die Einheitsmatrix). Demnach ist$$B = A^{-1}$$Die Umkehrabbildung existiert also genau dann, wenn \(A\) invertierbar ist, bzw. \(\det(A)\ne 0\) ist.$$\det(A) = -2$$Also ja - die Umkehrabbildung existiert und $$B= A^{-1} = \frac 12 \begin{pmatrix} -1& -1& -3\\ 1& 1& 1\\ -1& 1& -1 \end{pmatrix}$$Gruß Werner

Comments

Danke, hatte die Fragestellung leider komplett missverstanden

Answer 2

Nimm doch die Matrix von f

1    2   -1
0    1     1
-1   -1    0

und zeige: Die ist invertierbar, dann hast du auch gleich die

Matrix der Umkehrabbildung:

-0,5    -0,5     -1,5
0,5      0,5       0,5
-0,5    0,5       -0,5