Extrem- und Wendepunkte in einer Funktion mit k und x

Question

in meiner Aufgabe ist die Funktion f(x)=x⁴-k*x² gegeben. Man soll den Graphen auf Extrem- und Wendepunkte untersuchen.

Ich habe zunächst für die Extrempunkte die erste Ableitung f'(x)=0 gesetzt und dabei kam für x einmal -0,707107*√-k oder x=0,70107*√-k raus. Das ganze muss man dann ja in die zweite Ableitung einsetzen und da kam für beide x-Werte -4*k raus. Was kann man denn an dieser Stelle über die Extremstellen sagen? Im Prinzip kann man ja nicht angeben, ob es Eytremstellen gibt oder nicht, weil k ja undefiniert ist.

Ich hab dann zunächst versucht die Wendestellen zu berechnen. Für die zweite Ableitung=0 kam einmal x=√-6*k÷6 oder x=-√-6k÷6 raus (beides als Bruch). Eingesetzt in die dritte Ableitung ergab dies einmal 4*√-6*k und einmal -4*√-6*k. Was kann man an dieser Stelle über Wendestellen aussagen? Hätte jetzt wieder auf das gleiche getippt, wie bei den Extrempunkten.

Des Weiteren soll man die Ortslinie für die Tiefpunkte aller Funktionsgraphen bestimmen mit k=-2 und k=2. Wie genau mache ich das denn?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei meiner Aufgabe helfen würde! Liebe Grüße

Comments

Edit: Antwort nicht gesehen.

Answer 1

> ... in die zweite Ableitung einsetzen und da kam für beide x-Werte -4*k raus

Das sollte dich stutzig machen. Egal was du für k einsetzt, bei beiden Nullstellen der ersten Ableitung liegt das gleiche Krümmungsverhalten vor. Mit anderen Worten je nach Wert von k hast du entweder zwei Hochpunkte (falls k>0 ist) oder zwei Tiefpunkte (falls k < 0 ist) oder du kannst übehaupt keine Aussage treffen (falls k=0 ist).

Die Funktion f(x)=x⁴-kx² ist überall stetig. Also muss zwischen zwei Hochpunkten ein Tiefpunkt liegen und zwischen zwei Tiefpunkten ein Hochpunkt liegen. Du hast also eine Nullstelle der ersten Ableitung übersehen.

Schauen wir uns mal die Nullstellen der ersten Ableitung genauer an: bei beiden von dir gefundenen kommt √-k vor. √-k ist aber nur dann definiert, wenn k<0 ist (aus einer negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen). Für Extremwertberechnungen kannst du deshalb davon ausgehen, dass k<0 ist. Dann ist -4k > 0, also hast du dort Tiefpunkte.

Jetzt begeben wir uns auf die Suche nach dem fehlenden Hochpunkt. Es ist f'(x)=4x³-2kx. Nullstellen werden bestimmt mittels

4x³-2kx = 0

Klammert man x aus, so bekommt man

x(4x²-2k) = 0

was sich in zwei Gleichungen aufteilen lässt, nämlich

4x²-2k = 0 oder x = 0.

Die erste Gleichung liefert die von dir ermittelten Lösungen. Die zweite Gleichung hast du ignoriert und liefert den fehlenden Hochpunkt.