Partialbruchzerlegung? Warum das Quadrat beim Ansatz: ( A / (x+2)) + ( B/ (x-3)) + ( C/ (x-3)²)?

Question

ich verstehe die partialbruchzerlegung nicht ganz. zB warum wird aus:

    x² + 1           =    

(x+2)(x-3)²           

( A /  (x+2))  +  ( B/  (x-3))   +  ( C/  (x-3)²) 

meiner meinung nach müsste der letzte bruch weggelassen weden, weil wenn man dann später alles auf einen hauptnenner  bringt, indem man die nenner multipliziert, hat man doch dann ein (x-3) zu viel oder? meine lösung wäre:

( A /  (x+2))  +  ( B/  (x-3))   +  ( C/  (x-3))     -->also ohne quadrat.

Kann mir bitte einer verstädnlich erläutern, weshalb ich falsch liege?

vielen dank

Answer 1

Dein Ansatz macht leider keinen Sinn, da Du dann (B+C)/(x-3) = D/(x-3) schreiben kannst, Dir also in der Tat den letzten Bruch sparen kannst.

Zudem musst Du wieder auf den gleichen Nennergrad kommen (welcher hier 3 ist), was mit Deinen Mitteln nicht zu erreichen ist.

Der allgemeine Ansatz verlangt, dass Du den höchsten Grad einer mehrfachen Nennernullstelle nimmst und alle niederen Grade mitnimmst, wie im ersten Teil gezeigt ;).

Siehe auch hier: https://www.mathelounge.de/46741/mathe-artikel-partialbruchzerlegung

Grüße

Comments

danke für die antworrt,

meines erachtens habe ich den nennergrad 3 wenn ich alles ausmultipliziere, wenn ich allerdings das ² beibehalte, habe ich doch den nennergrad 4??

und was meinst du mit : 

(B+C)/(x-3) = D/(x-3) 

wo kommt den das D her?

danke im voraus

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D ist einfach eine neue Variable. Sprich Du kannst Dir das B/(x-3) + C/(x-3) sparen, da das auch in einem Bruch beschrieben werden kann.

Nein, Du bildest das kgV um wieder auf einen Bruch zu kommen. Da spielt das (x-3) keine Rolle, da es in (x-3)^2 schon beinhaltet ist. Für den Zähler aber ist es wichtig, dass (x-3) alleine aufgeführt wird. So kann man den vereinfachten Ansatz wählen, dass nur eine Konstante im Zähler steckt. Andernfalls  müsste ein linearer Ansatz gewählt werden.

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hmm das verstehe ich nich :/ wenn ich die einzelnen brüche addiere muss ich doch nur die brüche mit den jeweiligen nennern erweitern,  und wenn ich das quadrat beibehalte habe ich ein (x-3) zu viel im nenner

was hat das alles denn mit kgV zu tun?

danke

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Du kannst natürlich beliebig erweitern, das wäre aber nicht mehr der Hauptnenner.  Hier geht es aber um den Hauptnenner, welcher durch das kgV gebildet wird ;).

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aber wenn ich alle nenner multipliziere habe ich doch den Hauptnenner? ich muss doch nicht zwanghaft den kgV im Nenner haben?

Ich weiß, dass ich nicht recht habe, aber ich verstehe nicht warum das falsch ist.

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Du verpasst den Unterschied zwischen "gemeinsamen Nenner" und "Hauptnenner". Für den Hauptnenner brauchst Du zwanghaft den kgV. Für einen beliebigen gemeinsamen Nenner, ist das nicht nötig. Ich spreche hier aber vom Hauptnenner, dessen Grad derselbe sein muss, wie der vom Ursprungsbruch. In Deinem Fall läge das nicht vor, da der nur den Grad 2 hätte.

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könntest du das bitte kurz vorrechnen wie du auf grad 2 kommst?

ich sehe das nämlich so:

(x+2)*(x-3)*(x-3)= x³ ....

und das ist doch dann grad 3 wie der ursprungsnenner

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Du hast mir nicht zugehört. Es geht um den Hauptnenner, nicht um irgendein Nenner.

Dein Beispiel hat die Nenner:

1. (x+2)

2. (x-3)

3. (x-3)

Damit haben wir das kgV von (x+2)(x-3)

Für den eigentlichen Ansatz:

1. (x+2)

2. (x-3)

3. (x-3)^2

Damit haben wir das kgV von (x+2)(x-3)^2

Zudem hatte ich ja schon in anderer Hinsicht erklärt, dass Dein Ansatz nicht weiterführend ist, da die letzten beiden Brüche nichts anderes sind als ein Bruch. Mit ner anderen Konstanten (die ich mal D genannt hatte).

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sry ich möchte dich nicht nerven, aber könntest du mir erklären wie man auf den kgv kommt und warum ich nicht einfach die brüche auf irgendeinen gemeinsamen nenner multiplizieren kann? wieso benötige ich den Hauptnenner? es reicht doch wenn die nenner gleich sind, dann kann ich ebenfalls addieren?

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Es geht hier ja nicht um eine simple Addition von Brüchen. Da dürftest Du vorgehen wie Du möchtest.

Du scheinst noch nicht verstanden zu haben, dass

B/(x-3) + C/(x-3) = D/(x-3) ist.

Du also den Fall mit ?/(x-3)^2 außer Acht lässt. Dieser verdient aber ebenfalls Beachtung! Dies wird durch den allgemeinen Ansatz

B/(x-3) + C/(x-3)^2

sicher gestellt.

Wenn Du den oberen Link nicht angeschaut hast, zumindest hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung

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ich verstehe es einfach nicht, ich werde mir das wohl noch mal genauer anschauen müssen...

ztotzdem vielen dank für deine mühe

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Im Prinzip ist es ausreichend, sich an die Ansätze zu halten. Kannst ja dann und wann versuchen den Ansatz abzuwandeln und die niederen Glieder weglassen und sehen was passiert, bzw. erst gar nicht die höheren Glieder verwenden. Vielleicht wirds dann klar durchs rumspielen?

Der mehrfach erwähnte Teil, dass das hier nicht funktioniert: B/(x-3) + C/(x-3) = D/(x-3)

Sollte hingegen nun klar sein?

Kein Ding und gute Nacht :)