Gleichung mit vielen Variablen nach u auflösen. (u(r-w-l))/u(r-w-l)+w) = (r-c-l)/(r-l)

Question

Ich muss folgende Gleichung nach u umformen (also u = ... ), bekomme es jedoch nicht hin:

$$ \frac { u(r-w-l) }{ u(r-w-l)+w } =\frac { r-c-l }{ r-l } $$

Für eine ähnliche Aufgabe habe ich bereits eine Lösung, bekomme jedoch auch diese selber nicht entsprechend umgestellt.

$$ \frac { ur-w }{ ur-v } =\frac {r-c }{ r-v } $$

Hier war die Lösung:

$$ u = -\frac {v(r-c)}{r(c-v)} + \frac{r-v}{r(c-v)} * w $$

Kann mir jemand weiterhelfen? Ich biete auch gerne eine kleine Aufwandsentschädigung!

Answer 1

$$\begin{aligned} \dfrac { u(r-w-l) }{ u(r-w-l)+w } &= \dfrac { r-c-l }{ r-l } \quad\vert\quad\text{Subtr. der Zähler von den Nennern} \\[0.5cm] \dfrac { u(r-w-l) }{ w } &= \dfrac { r-c-l }{ c } \\[0.5cm] u &= \dfrac { (r-c-l)\cdot w }{ c\cdot (r-w-l) } \end{aligned}$$

So, das waren genau zwei Rechenschritte.

Zu der besagten Umformung „Subtraktion der Zähler von den Nennern“ habe ich hier eine Antwort geschrieben. Schriftliche Literatur habe ich auch dazu, werde ich aber in absehbarer Zeit eher nicht wiederfinden.

Answer 2

Nachstehend eine kleinschrittige Lösung:

$$ \begin{aligned} \frac { u(r-w-l) }{ u(r-w-l)+w } &= \frac { r-c-l }{ r-l } \qquad | ·(u(r-w-l)+w) \\ \frac { u(r-w-l)·(u(r-w-l)+w) }{ u(r-w-l)+w } &= \frac { (r-c-l)·(u(r-w-l)+w) }{ r-l } \\ \frac { u(r-w-l)·(u(r-w-l)+w) }{ u(r-w-l)+w } &= \frac { (r-c-l)·(u(r-w-l)+w) }{ r-l } \\ \frac { u(r-w-l)·1 }{ 1 } &= \frac { (r-c-l)·(u(r-w-l)+w) }{ r-l } \\ u(r-w-l) &= \frac { (r-c-l)·(u(r-w-l)+w) }{ r-l } \quad \quad \quad |\quad ·(r-l) \\ u(r-w-l)·(r-l) &= \frac { (r-c-l)·(u(r-w-l)+w)·(r-l) }{ r-l } \\ u(r-w-l)·(r-l) &= \frac { (r-c-l)·(u(r-w-l)+w)·1 }{ 1 } \end{aligned} $$

Brüche sind vorerst beseitigt:

\( u·(r-w-l)·(r-l) = (r-c-l)·(u·(r-w-l)+w)  \)

Nun ausmultiplizieren:

$$ \begin{aligned}  (ur-uw-ul)·(r-l) &= (r-c-l)·((ur-uw-ul)+w) \\ (ur-uw-ul)·r-(ur-uw-ul)·l &= (r-c-l)·(ur-uw-ul+w) \\ (urr-uwr-ulr)-(url-uwl-ull) &= r·(ur-uw-ul+w)-c·(ur-uw-ul+w)-l·(ur-uw-ul+w) \\ urr-uwr-ulr-url+uwl+ull &= urr-uwr-ulr+wr-(cur-cuw-cul+cw)-(lur-luw-lul+lw) \\ u{ r }^{ 2 }-uwr-ulr-url+uwl+ull &= u{ r }^{ 2 }-uwr-ulr+wr-cur+cuw+cul-cw-lur+luw+lul-lw \\ u{ r }^{ 2 }-uwr-ulr-url+uwl+ull &= u{ r }^{ 2 }-uwr-ulr+wr-cur+cuw+cul-cw-lur+luw+lul-lw \\ -url+uwl+ull &= wr-cur+cuw+cul-cw-lur+luw+lul-lw \\ 0 &= wr-cw-lw-cur+cuw+cul-lur+luw+lul \quad +url-uwl-ull \\ | \text{ u ausklammern} \\ 0 &= wr-cw-lw - u·(cr+cw+cl-lr+lw+ll + rl-wl-ll) \\ | \text{ subtrahiere -(wr-cw-lw)} \\ -(wr-cw-lw) &= -u·(cr+cw+cl-lr+lw+ll + rl-wl-ll) \qquad | ·(-1) \\ (wr-cw-lw) &= u·(cr+cw+cl-lr+lw+ll + rl-wl-ll) \\ | :(cr+cw+ \cdots-ll) \\ \text{| u steht nun alleine:} \\ u &= \frac{wr-cw-lw}{cr+cw+cl-lr+lw+ll + rl-wl-ll} \\ \text{| Terme fallen weg:} \\ u &= \frac{wr-cw-lw}{cr+cw+cl \color{#00F}{-lr+lw+ll + rl-wl-ll}} \\ u &= \frac{wr-cw-lw}{cr+cw+cl} \\ \text{| w im Zähler ausklammern: } \\ u &= \frac{w·(r-c-l)}{cr+cw+cl} \\ \text{| c im Nenner ausklammern: } \\ u &= \frac{w·(r-c-l)}{c·(r+w+l)} \\ \text{| fertig} \end{aligned}$$

Siehe auch Bruchgleichungen / Bruchterme sowie das Video:

https://www.youtube.com/watch?v=ddRb_FGbR0A

Comments

Danke für die Umformung! Ich hab sie leider nicht mehr benötigt (da mein vorheriger Rechen-Ansatz falsch war), aber eine Belohnung solls natürlich trotzdem geben ;)

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