Auflösen von a*p*(L^(a-1))* (((w/r)*(b/a)*L)^b) - w= 0 nach L

Question

Aufgabe:

Auflösen von a*p*(L^(a-1))* (((w/r)*(b/a)*L)^b) - w= 0   nach L

Problem/Ansatz:

Mein Pro formuliert im ersten schritt so um dass ((a*p)/w)*((w/r)*(b/a)^b) = L^(1-a-b) entsteht - kann mir diesen Schritt jemand erklären ? Später formt er auch noch eben diese erste umformulierung (also: ((a*p)/w)*((w/r)*(b/a)^b) - w= L^(1-a-b) ) in          p*((a/w)^(1-b))*(b/r)^b) = L^(1-a-b) um - kann mir diesen schritt ebenfalls jemand erklären :-). Vielen Dank im Voraus

Answer 1

\( a * p * L^{a-1} * (\frac{w}{r})^b * (\frac{b}{a})^b *L^b - w= 0 \)

auf beide Seiten +w addieren

\( a * p * L^{a-1} * (\frac{w}{r})^b * (\frac{b}{a})^b *L^b = w \)

Potenzen von L zusammenfassen

\( a * p * (\frac{w}{r})^b * (\frac{b}{a})^b *L^{a-1+b}  = w \)

beide Seiten mit w dividieren

\( \frac{ap}{w} * (\frac{w}{r})^b * (\frac{b}{a})^b *L^{a-1+b}  = 1 \)

L auf die rechte Seite, das Vorzeichen der Potenz wechselt das Vorzeichen

\( \frac{ap}{w} * (\frac{w}{r})^b * (\frac{b}{a})^b = L^{-a+1-b} \)

b und r in einem Bruch zuzsammenfassen

\( \frac{ap}{w} * (\frac{w}{a})^b * (\frac{b}{r})^b = L^{-a+1-b} \)

mit a und w kürzen

\( p * (\frac{w}{a})^{b-1} * (\frac{b}{r})^b = L^{-a+1-b} \)

w/a invertieren

\( p * (\frac{a}{w})^{1-b} * (\frac{b}{r})^b = L^{-a+1-b} \)

ln() anwenden

\( ln ( p * (\frac{a}{w})^{1-b} * (\frac{b}{r})^b ) = ln ( L^{-a+1-b} ) \)

\( ln ( p ) + ln ( (\frac{a}{w})^{1-b}) + ln ( (\frac{b}{r})^b ) = ln ( L^{-a+1-b} ) \)

\( ln ( p ) + (1-b)*ln ( \frac{a}{w}) + b*ln ( \frac{b}{r} ) = (1-a-b) ln ( L ) \)

\( ( ln ( p ) + (1-b)*ln ( \frac{a}{w}) + b*ln ( \frac{b}{r} )) * \frac{1}{1-a-b} = ln ( L ) \)