Beschränktheit von Folge zeigen (Fibonacci)

Question

Zeigen sie:

Die Quotientenfolge(q_n)_n≥1 ist beschränkt

q_n:= F_n+1/F_n es geht um die Fibonacci-Zahlen

Wie zeige ich das?

Answer 1

benutze das was du bereits weißt über die Fibonacci-Zahlen.

Insbesondere die rekursive Definition.

Gruß

Comments

F_n+1/F_n  = (F_n + F_n-1)/F_n= (F_n/F_n) +(F_n-1/ F_n)= 1+ F_n-1/F_n = 1+1/(F_n/F_n-1 ), also könnte ich an auch so schreiben:

q_n:=1+1/(F_n/F_n-1 ) 
, darf ich den unteren Teil substituieren, also  q_n:=1+1/a_n ?

So, dass steht auf meinem Schmierblatt, dass war es dann aber auch, so könnte ich vlt. einen Grenzwert berechnen, also in diesem Fall den Wert des goldenen Schnitts...ich hätte aber keine Erklärung dafür, warum ich substituieren kann oder wie ich genau auf den Grenzwert komme??? Wenn ich den Grenzwert berechnen würde, hätte ich damit auch gezeigt, dass die Quotientenfolge beschränkt ist?

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Schau doch erstmal bis hierhin:

F_n+1/F_n  = (F_n + F_n-1)/F_n= (F_n/F_n) +(F_n-1/ F_n)= 1+ F_n-1/F_n

Du weißt doch bestimmt, dass \(F_n \geq F_{n-1} \) für alle \(n \in \mathbb{N} \) ;).

Es ist gar nicht nötig so weit auszuholen, es reicht den Quotienten nach oben hin abzuschätzen.

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Also wenn die höchste Potenz des Nenners größer als die vom Zähler wäre , würde der Grenzwrt von F_n-1/F_n=0 sein und der gesamte Grenzwert q_n=1, aber da bspw. F_n=1 und F_n-1=1 sein könnte, können die größten Potenzen von Nenner und Zähler auch gleich sein, deswegen ≥
Naja, komme nicht wirklich vorran...

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Wo kommen auf einmal Potenzen her? Aus der von mir genannten Eigenschaften folgt, dass \(q_n \leq 2 \).