Berechnen Sie die Ableitung der Funktion. Wo ist sie negativ, wo positiv?

Question

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion

f(x) = x^{(x−1)}, x > 0,

und stellen Sie fest, in welchen Bereichen die Ableitung f'' positiv bzw. negativ ist. Benutzen Sie das dann, um Aussagen über Extremalstellen und das Wachstumsverhalten der Funktion f zu erhalten.

Comments

f ' soll das heißen und nicht f' ' '

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Die Klammer ist wohl verrutscht ?

Meinst du

f(x) = x^(x−1), x > 0  ?

Answer 1

f(x) = x^{(x - 1)}

f'(x) = x^{(x - 2)}·(x·LN(x) + x - 1)

Nullstellen bei

x·LN(x) + x - 1 = 0

x·LN(x) + x = 1

Für x = 1 lässt sich eine Nullstelle leicht ablesen. Für x  > 1 kann es keine Nullstelle geben

Für x < 1 kann es auch keine weitere Nullstelle geben.

Schau dir dazu einfach die beiden Summanden an, welchen Wert diese für die angegebenen x annehmen können.

Also negativ füx 0 < x < 1 und positiv für x > 1

Man erwartet also ein Minimum bei x = 1