a)
Du musst \(\vec{y_1}\) und \(\vec{y_2}\) jeweils als Linearkombination von \(\vec{x_1}\) und \(\vec{x_2}\) darstellen.
z.B. \(\vec{y_1}\) = r • \(\vec{x_1}\) + s • \(\vec{x_2}\) mit r,s ∈ℝ
Hieraus erhältst du ein LGS aus drei Koordinatengleichungen. Löse das System aus den beiden ersten Gleichungen und prüfe die Lösung ggf. in der dritten Gleichung. Wenn die letzte Aussage wahr ist, hast du r,s und damit die Linearkombination gefunden. Ansonsten gibt es keine.
b)
Für \(\vec{x_3}\) kannst du das Kreuzprodukt \(\vec{x_1}\) x \(\vec{x_2}\) nehmen, für \(\vec{x_4}\) ein beliebiges Vielfaches (≠ 0-fach) von \(\vec{x_3}\) nehmen.
Im ℝ3 weist man die lineare Unabhängikeit von drei Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) am einfachsten nach, indem man zeigt, das für das "Spatprodukt" gilt:
(\(\vec{a}\) x \(\vec{b}\)) • \(\vec{c}\) ≠ 0
Gruß Wolfgang
