Aloha :)
Vektoren heißen linear unabhängig, wenn du aus ihren Vielfachen, die nicht alle gleich \(\vec 0\) sein dürfen, keinen geschlossenen Vektorzug zusammenstellen kannst. Formal heißt das für diesen Fall hier, dass die Gleichung:$$\lambda\vec u+\mu\vec v=\vec 0$$nur die triviale Lösung \(\lambda=\mu=0\) hat.
Fall a) \(\quad\vec u=\vec a-\vec b\;;\;\vec v=\vec a+\vec b\)$$\vec 0=\lambda\vec u+\mu\vec v=\lambda(\vec a-\vec b)+\mu(\vec a+\vec b)=(\lambda+\mu)\vec a+(\mu-\lambda)\vec b$$Da \(\vec a\) und \(\vec b\) nach Voraussetzung linear unabhängig sind, muss \(\lambda=\mu\) sein, damit der \(\vec b\)-Beitrag verschwindet. Die verbliebene Gleichung \(\vec 0=2\lambda\,\vec a\) erzwingt dann \(\lambda=0\). Insgesamt gilt also \(\lambda=\mu=0\), sodass die Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) linear unabhängig sind.
Fall b) \(\quad\vec u=\frac{1}{2}(\vec a+\vec b)\;;\;\vec v=\vec b-\vec a\)$$\vec 0=\lambda\vec u+\mu\vec v=\frac{\lambda}{2}(\vec a+\vec b)+\mu(\vec b-\vec a)=\left(\frac{\lambda}{2}-\mu\right)\vec a+\left(\frac{\lambda}{2}+\mu\right)\vec b$$Da \(\vec a\) und \(\vec b\) nach Voraussetzung linear unabhängig sind, muss \(\frac{\lambda}{2}=\mu\) bzw. \(\lambda=2\mu\) sein, damit der \(\vec a\)-Beitrag verschwindet. Die verbliebene Gleichung \(\vec 0=2\mu\,\vec b\) erzwingt dann \(\mu=0\). Insgesamt gilt also \(\lambda=\mu=0\), sodass die Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) linear unabhängig sind.
