lineare Abhängigkeit zeigen

Question

v₁=  a+  b+c+d
v₂=2a+2b+ c -d
v₃=  a+  b+3c -d
v₄=  a         - c+d
v₅=        -b+  c -d

a,b,c,d ∈ V (V ist ein ℝ-Vektorraum)
Beweisen sie, dass v₁,v₂.....v₅ linear abhängig sind.

Wie muss ich vorgehen? Dass Gleichungssystem nach a,b...aufzulösen, würde keine sinnvollen Lösungen präsentieren oder?

Answer 1

v₁, v₂, ..., v₅ heißen linear abhängig wenn es (r₁, r₂, ..., r₅) ≠ (0, 0, ..., 0) gibt, so dass 0=r₁·v₁+r₂·v₂+...+r₅·v₅. Löse also das Gleichungssystem 0=r₁·v₁+r₂·v₂+...+r5·v₅ nach r₁,r₂, ..., r₅.

Comments

Wie soll man ein so gewaltiges Gleichungssystem lösen? Fallunterscheidung?

1: r₁*a+r₁*b+r₁*c+r₁*d=0

2: r₂*2a+r₂*2b+r₂*c-r₂*d=0

3: r₃*a +r₃*b+r₃*c-r₃*d=0

4: r₄*a            -r₄*c +r₄*d=0

5:            -r₅*b+r₅*c-r₅*d =0