Zeigen, dass (G,∗) mit g ∗ g = e eine abelsche Gruppe ist.

Question

wie im Titel schon steht soll ich zeigen, dass (G, ∗) eine abelsche Gruppe ist, wobei g ∗ g = e gilt.

∗ ist hierbei die binäre Verknüpfung. 

Über jegliche Hilfe würde ich mich freuen.

Grüße

Answer 1

da in der Verknüpfungstabelle einer Gruppe jedes Element in jeder Zeile und Spalte jeweils genau einmal

vorkommen muss, ergibt sich (weil g⊗g durch e vorgegeben ist):

Verknüpfungstabelle:    

⊗      g      e

g       e      g

e       g      e

Die Verküpfung ist offensichtlich abgeschlossen, besitzt das neutrale Element e 

 und die inversen Elemente  e^-1 = e sowie g^-1 = g.

Offensichtlich gilt das Kommutativgesetz (Symmetrie der Tabelle zur Hauptdiagonalen).

Für das Assoziatvgesetz musst du  (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)  

für alle Einsetzungen  a,b,c  aus {e,g} nachprüfen.

Dafür gibt es 2³ = 8 Möglichkeiten, die sich wegen dem KG auf 4 reduzieren.

[ in etwas größeren Verknüpfungstabellen ist der Nachweis des AG wegen des schnellen Ansteigens von 2ⁿ sehr lästig :-) ]

Gruß Wolfgang

Comments

Es ist ja nicht deine Schuld, dass die Frage so völlig quer widergegeben worden ist.

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Danke, auch wenn wir bis jetzt keine Verknüpfungstabellen benutzt haben kann ich das nachvollziehen! Ist Assoziativität überhaupt notwendig? Abelsch ist eine Gruppe ja bereits bei Kommutativität.

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Aber nur wenn es erst einmal eine Gruppe ist, und da muss das AG gelten.

>Es ist ja nicht deine Schuld, dass die Frage so völlig quer widergegeben worden ist. 

Da bin ich aber froh, dass du das so siehst! :-)

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Dann hab ich die Frage falsch formuliert, das tut mir leid! Wir gehen bereits davon aus, dass (G, ∗) eine Gruppe ist.

Natürlich kann es nicht schaden, das ganze nochmal selber nachzuprüfen.

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Dann muss man natürlich nur das KG begründen:

Symmetrie der Verknüpfungstabelle oder A2, wobei die dort verwendete Regel natürlich erst einmal bewiesen sein muss.

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Ich finde die Tabelle persönlich verständlicher aber ich denke mal, Dinge die wir noch nicht in der Vorlesung benutzt haben helfen mir nicht dabei, selber darauf zu kommen.

Wie würde ich denn (ab)^-1 = b^-1a^-1 beweisen?

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Es muss   (a⊗b)^-1 ⊗ (a⊗b) = e   gelten

Wegen AG:

⇔ ( (a⊗b)^-1 ⊗ a) ⊗ b = e  | ⊗ b^-1   

⇔   (a⊗b)^-1 ⊗ a  = b^-1  | ⊗ a^-1 

⇔   (a⊗b)^-1 =  b^-1⊗ a^-1 

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Der Anfang ist verständlich aber der Schritt

( (a⊗b)^-1 ⊗ a) ⊗ b = e  | ⊗ b^-1  
⇔   (a⊗b)^-1 ⊗ a  = b^-1  | ⊗ a^-1 

nicht. Du verknüpfst beide Seiten mit b^-1, warum gilt dann  e⊗b^-1=b^-1 auf der rechten Seite?

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weil e das neutrale Element ist, welches bei der Verknüpfung "keine Auswirkung" hat.

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Oh man, natürlich.. jetzt macht auch die Assoziativität Sinn. Und ich verstehe, wie du auf die Tabelle gekommen bist.

Die nächsten Aufgaben sind ähnlich, die sollte ich jetzt aber alleine schaffen, danke nochmal!

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Das meiste hab ich, zumindest bin ich mir ziemlich sicher. Ich müsste nur noch zeigen, dass auf der Gruppe (G, ⊗)

e = e^-1 und

(g^-1)^-1 = g für alle g∈G

Das erste ergibt sich aus der Tabelle, da jedes Element sein eigenes Inverses ist gilt e^-1=e.

Nach dieser Logik ist auch das Inverse vom Inversen wieder g. Ich frag mich nur im Moment, wie ich das zeigen würde.

Answer 2

Man nehem zwei beliebige Elemente a,b aus G.

Es gilt in jeder Gruppe: \( (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} \)

In G ist nach Vorsussetzung jedes Element sein eigenes Inverses, also

\(ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba \).