Bekanntlich gilt \(\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\dfrac1{1-q}\) für alle \(q\in\mathbb R\) mit \(\vert q\vert<1\).
Mithilfe des Cauchy-Produkts folgt$$\quad\left(\frac1{1-q}\right)^{\!2}=\left(\sum_{n=0}^\infty q^n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty q^n\right)=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n q^k\cdot q^{n-k}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n q^n$$$$\Leftrightarrow\frac1{(1-q)^2}=\sum_{n=0}^\infty(n+1)\cdot q^n.$$
