Riemannsche Summe berechnen

Question

ich tue mich im Moment schwer die Riemannsche Summe zu verstehen. Mit den Formeln im Internet kann ich leider wenig anfangen, da ich es besser an einem Beispiel verstehen kann.

Also könnte es mir vielleicht netterweise jemand an dem Beispiel: f(x) = x^{2 }+1    I = [0,1]  erklären?

Danke

Answer 1

Hi, zerlege das Intervall \( [0,1] \) in n-Teile gleicher Länge. Die Stützpunkte sind dann \( \frac{k}{n} \) für \( k = 0, \cdots , n \)
Da die Funktion \( f(x) = x^2 +1 \) monoton wachsend ist, berechnet sich die Untersumme zu
$$ US = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{k^2}{n^2}+1 \right) = \frac{1}{n^3}\cdot \sum_{k=0}^{n-1}k^2 + 1 $$ und die Obersumme zu
$$ OS = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k^2}{n^2}+1 \right) = \frac{1}{n^3}\cdot \sum_{k=1}^{n}k^2 + 1 $$
D.h. es gilt \( OS = US + \frac{1}{n} \)
Weiter gilt
$$ OS = \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2+1 = \frac{1}{n^3}\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+1 = 1 + \frac{1}{6}\left( 1+\frac{1}{n} \right)\left( 2+\frac{1}{n} \right) $$ und das konvergiert gegen \( \frac{4}{3} \)
Da sich Ober- und Untersumme nur um \( \frac{1}{n} \) unterscheiden, konvergiert die Untersumme gegen den gleichen Wert.