Teilmenge der komplexen Zahlen in komplexe Ebene zeichnen. B:={ z€C| 0≤ Im(z) ≤ 2}

Question

Bei der Aufgabe (siehe Bild) sollen die jeweiligen Teilmengen der komplexen Zahlen in eine komplexe Ebene eingezeichnet werden.

Bei der Menge A kann ich mir schon vorstellen wie das Bild aussehen soll, also ein um z=2 mit Radius 1.

Leider habe ich  überhaupt keine Idee wie die restlichen Teilmengen aussehen könnten.

Vielen Dank schon für die Hilfe im Voraus :)

Comments

EDIT: Gefunden!

B:={ z€C| 0≤ Im(z) ≤ 2}

ist ein horizontaler Streifen der Breite 2, der unten durch die reelle Achse begrenzt wird.

Beide begrenzenden Linien gehören zum gesuchten Gebiet.

A hast du gut beschrieben. Es handelt sich um eine Kreisscheibe inklusive Rand.

C und D sind auf den ersten Blick etwas komplizierter. Kann sein, dass du da rechnen musst.

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Genau bei A bin ich auch auf dasselbe Bild gekommen und B ist jetzt auch einleutend. Danke:)

Wenn ich es jetzt richtig erfasst habe, müsste ich dann bei der Menge C bzw. D für z=x+yi einsetzen und versuchen das Gleichungsystem versuchen aufzulösen?

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Ja genau. Damit kannst du nun mal starten.

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Soweit bin ich bisher gekommen bei der Teilmenge C:

Re(z) ≤ Im(z) ≤ 1+ Re(z)

<=> Re(x+iy) ≤ Im(x+iy) ≤ 1+ Re(x+iy)

<=> x ≤ iy ≤ 1 + x        /-x

<=> 0 ≤ iy ≤ 1

Sofern ich das jetzt richtg intepretiere erhalte ich dann erneut einen Horizontalstreifen mit der Breite 1 [Längeneinheit] , welcher von der reellen Achse (also unten) begrenzt wird, wodurch sich das Gebiet ergibt aus dem Streifen einschließlich der Begrenzugslinien.

Ist meine Überlung soweit korrekt?

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Mir gefallen die Äquivalenzpfeile nicht wirklich. (nicht falsch!, würde sie aber weglassen)

Im(x+iy) = y nicht iy ! 

Re(z) ≤ Im(z) ≤ 1+ Re(z)

<=> Re(x+iy) ≤ Im(x+iy) ≤ 1+ Re(x+iy) 

<=> x ≤ y ≤ 1 + x        /-x    (***)

<=> 0 ≤ y - x ≤ 1

Teile einfach (***) auf

 x ≤ y und y ≤ 1 + x   

Schneide dann die beiden Halbebenen miteinander. Gibt einen (schrägen) Streifen in der komplexen Zahlenebene. 

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Vielen vielen Dank, wäre nicht draufgekommen wo der Fehler ist :)

Da unser Dozent die Äquivalenzpfeile auch selber in der Vorlesung zum Thema verwendet hat, habe ich sie mal dazugeschrieben ;)

Die C habe ich jetzt verstanden, ich muss mit der Defintion y= Im(z) arbeiten, dann sind die restlichen Schritte ach logisch.

Bei der Teilmenge D habe ich bisher erstmal das komplexkonjugierte zu z gebildet und eingesetzt:

I x - iy - i I = Re (x+iy)

(x-iy-i)^2 = x 

Passt diese Umformung denn soweit und wenn ja, wie sollte ich jetzt weitermachen?

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I x - iy - i I = Re (x+iy) 


(x-iy-i)² = x      | Das links ist kein Betrag.

I x - i(y+1)I = x 

√(x^2 + (y+1)^2 ) = x       | ^2

x^2 +  (y+1)^2 = x^2

Answer 1

I x - iy - i I = Re (x+iy)  


(x-iy-i)² = x      | Das links ist kein Betrag.

I x - i(y+1)I = x 

√(x² + (y+1)² ) = x       | ²

x² +  (y+1)² = x²

(y+1)^2 = 0 y = - 1, x beliebig. 

  Kontrolle: | x - i(-1) - i | = x       | neue Zeile:  | x | = x 


  Stimmt allerdings nur für x≥ 0.  
 
  Also mein Resultat (zum Nachrechnen / Korrigieren...)  
 
  L = {(x  | -1) € R^2 | x ≥ 0 } 
  Ergibt eine Halbgerade im 4. Quadranten. 

Comments

Danke für die super Erklärung, jetzt kann ich die Lösung und den Weg dortin gut nachvollziehen.

Allerdings hätte ich noch zu deinem Kontrollergnis eine Frage:

Müsste es nicht | x - i(-1) + i | = x | x | = x lauten

also das fett markierte plus statt dem - ?

Ansonsten bin ich deinem Rechenweg einverstanden :)

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Mit dem Minus bin ich einverstanden. Wird oben korrigiert.

Der Editor hat wiedermal die Zeilenumbrüche entfernt. - Ich versuche das auch gleich noch zu beheben.

Und Bitte.

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Warum wird aus

I x - i(y+1)I = x

dann zu

√(x2 + (y+1)2 ) = x ?

Oben steht doch Minus. Wird das wegen dem Betrag dann in der Wurzel zu Plus?

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z = a + ib

| z| = √(a^2 + b^2) ist so definiert.

Das PLUS kommt eigentlich vom Pythagoras.