Zeichnen in der komplexen Ebene. Bsp. { z ∈ C: Im(z^2) < 4}

Question

Hier soll man die Teilmengen in der komplexen Ebene zeichnen.

(a) \( \{z \in \mathbb{C}: 1<|z-i|<2\} \)
(b) \( \left\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Im}\left(z^{2}\right)<4\right\} \)
(c) \( \{z \in \mathbb{C}:|\bar{z}-i|=\operatorname{Re}(z)\} \)

Setze ich hier beispielsweise für z = a + bi ein?

Comments

(a): Zeichne 2 Kreise mit Radius 1 und 2 um die Zahl u = i.

schraffiere das Gebiet zwischen den beiden Kreislinien. Der Rand gehört nicht dazu.

Schau vielleicht auch mal bei den ähnlichen Fragen unten, ob du was anpassen kannst für b) und c).

Answer 1

Ja du ersetzt z durch eine komplexe Zahl z = x + yi

Jetzt machst du Vereinfachungen

|z - i| = |x + yi - i| = |x + (y-1)i| = √(x^2 + (y - 1)^2)

1 < √(x^2 + (y - 1)^2) < 2

Und zeichnest dann das ganze.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+1<√%28x%5E2%2B%28y-1%29%5E2%29<2

Comments

IM((x + yi)^2) = 2·x·y

|x - yi - i| = x
|x - (y+1)i| = x
√(x^2 + (y + 1)^2) = x   bedingung x>0
x^2 + (y + 1)^2 = x^2
(y + 1)^2 = 0
y = -1

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|x + (y-1)i| = √(x² + (y - 1)²)

warum fällt hier das i weg ?

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oke- die begründung hab ich jetzt schon.

aber warum darfst du diesen schritt machen:

|x - (y+1)i| = x
√(x² + (y + 1)²) = x   bedingung x>0

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Mathecoach benutzt die Definition des Betrags von komplexen Zahlen. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Betrag       
z= a+ib hat |z| = √(a^2 + b^2)

Im (z^2) = Im ((x+iy)^2) = Im ( x^2 -y^2 + 2xyi)

= 2xy
Jetzt 2yx < 4 von Wolframalpha zeichnen lassen:

 https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+2xy%3C4

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und diese definition den betrages gilt auch für z = a - bi ?

ich bin auch auf 2xy < 4 gekommen. wie komme ich jedoch auf diese zeichnung ohne wolfram alpha zu verwenden? hättest du hier einen tipp?

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2xy < 4

xy < 2

Falls x> 0

y < 2/x

Falls x < 0

y > 2/x

Also Bereiche über resp. unter Hperbelästen.

Answer 2

z = x+iy

|zQUER - i| = Re(z) 

|x-iy - i | = x

|x - (y+1)i| = x

√(x^2 + (y+1)^2) =x

√(x^2 + y^2 + 2y +1) = x

https://www.wolframalpha.com/input/?i=√%28x%5E2+%2B+y%5E2+%2B+2y+%2B1%29+%3D+x++

Liefert nicht viel Schlaues, ausser: y = -1.

Nun nochmals

 

√(x^2 + (y+1)^2) =x

√(x^2 + y^2 + 2y +1) = x

betrachten.

Für y ≠-1 ist (y+1)^2 > 0, so ist √(x^2 + (y+1)^2) sowieso grösser als x und sicher nicht gleich x.

Für y = -1 steht unter der Wurzel nur x^2. Wurzel draus ist |x|

und für alle x≥0 gilt |x| = x

Daher ist L = {(x,y) | x≥ 0 und y = -1}. Bereich inkl Randpunkt bei -i gemeint.