Abbildungen im Komplexen?

Question

Hi,

gegeben seien die abbildungen:

f : C \ {0} → C: z → z + 1/z,        g : C \ {0} → C : z → z + i/z 

sowie Menge:  A = {z ∈ C |   |z|=1}

1. Zeichne f(A) und g(a) in die komplexe Ebene 

2. Bestimmt  { arg(z) | z ∈ C _^ f(z) = 1}

 

bitte helft mir verstehe das echt nicht so gut.... Dankee!!

Answer 1

hallo


1.

z -> z + 1/z
z = x + iy
f(z) = z + 1/z = z + 1/(x + iy) = z + (x - iy)/((x + iy)(x - iy)) =
z + (x - iy)/(x^2-(iy)^2) = z + (x - iy)/(x^2+y^2) =
z + (x - iy)/1 = x + iy + (x - iy)/1 = 2x
f(z) = 2x

die funktion f(z) bildet also z mit dem zweifachen realteil auf der
reellen achse ab.
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z -> z+i/z

z = x + iy
z + i/z = z + i/(x + iy) = z + i(x - iy)/((x + iy)(x - iy)) =
z + ix + y = x + iy + ix + y = x+y + i(x+y)
g(z) = x+y + i(x+y)
die funktion g(z) addiert real- und imaginärteil woraus wiederum
ein neuer real- und imaginärteil entsteht.
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welche argumente, also welche z kommen für f, g,  in frage?
|z| = 1 = √(x^2+y^2)
√(x^2+y^2) = 1
y = ±√(1-x^2)
-1 <= x < 1
aus -1 <= x < 1 bekommt man das y über y = ±√(1-x^2)
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2.

f(z) = 1 -> Re(z) = 0.5
Im(z) = √(1-x^2) = √(1-0.5^2) = √(0.75)

es kommen zwei komplexe zahlen in frage
0.5 + i√(0.75), 0.5 - i√(0.75)
von denen sich die argumente berechnen lassen.

die beiden zahlen -0.5 + i√(0.75) und -0.5 - i√(0.75) kommen nicht in
frage, weil f(z) = -1 ergibt.

mfg

Comments

Vielen vielen dank!

Wo wir schon bei komplexen zahlen sind: erkennst du da einen fehler??

Also:

z² + |z| = 0

(x +yi)² + wurzel(x²+y²)  1.Bin.F.

x²+2xyi+y²(i)²+wurzel(x²+y²)=0,    und i²=-1

x²+2xyi-y²+wurzel(x²+y²)=0

Jetzt ist die Frage wieder in Imaginärteil und Realteil unterscheiden?? wäre dann:

2xyi=0  für Imaginärteil  und

x²-y²+wurzel(x²+y²)=0   Realteil


Würde ja 0 rauskommen für den Imaginärteil oder wie gehts ab da weiter???

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ich weiß nicht, ob ich dazu heute abend noch komme.

eröffne einfach eine neue frage, vielleicht hast du glück und es kümmert sich gleich jemand darum.

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Ok trotzdem vielen dank!!

Schönen abend noch