Skizzieren Sie folgende Teilmenge von C (komplexe Zahlen) |z +1+i| = |z-(-1-i)|= |z-2i|

Question

Skizzieren sie die fogende Teilmenge von C

Ich hatte fogende Idee, weiß ab dort aber nicht mehr weiter, da ich nicht weiß, wie ich mit den "i" umgehen muss.

\( M_{1}=(z \epsilon C \| z+1+i|=| z-2 i |) \)

Also meine Überlegung war den gesamten Tern zu quadrieren, damit die Beträge verschwinden. Dann hab ich das vereinfacht, für \( z=x+i y \) eingesetzt und nach \( y \) aufgelöst. Da kam das heraus: \( y=\frac{x+3 i-6}{3+i} \)

Comments

In C kannst du nicht einfach die Beträge durch Quadrieren wegbringen. Das siehst du daran, dass du nun einen Zusammenhang hast, in dem x, y und i vorkommen. Das ist nicht wirklich brauchbar.

Answer 1

Betrag heisst ja in der komplexen Zahlenebene Abstand.

|z + 1 +i| = |z - (-1-i)|         'Abstand zwischen z und (-1-i)'

|z-2i| 'Abstand zwischen z und 2i.'

Nun sollen bei der gesuchten Menge die Punkte z von 2i und (-1-i) den gleichen Abstand haben. Das heisst: Als geometrischer Ort aller z der Lösungsmenge ergibt sich die Mittelsenkrechte zwischen 2i und (-1-i).

Comments

okay, das mit dem Abstand an sich verstehe ich, glaub ich, aber wie komme ich dann auf die Mittelsenkrechte und wie zeichnet man das?

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Als Erstes zeichnest du die beiden angegebenen Zahlen ein.

Dann verbindest du sie mit dem Lineal und bestimmst dem Mittelpunkt M der Verbindungsstrecke. Als Nächstes zeichnest du durch M die Senkrechte auf die Verbindungsstrecke. (Geodreieck benutzen)

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WIE ich zeichne weiß ich, aber ich versteh z.B. nicht auf welche Achsen ich was auftragen muss und wo genau die Punkte (-1-i) und (2i) liegen...

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Zeichne das aber besser genau mit dem Geodreieck.

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hätte noch eine Frage:
gleiche Aufgabenstellung mit der Menge

M=(z∈ℂ||z-i|>1 und |z-1-i|<2)
wenn ich das richtig verstanden habe, muss der Abstand von z zu i>1 sein und der Abstand von z zu (i+1)<2. Habe die Punkte in mein Koordinatensystem gezeichnet, aber wie bringe ich das >1,<2 in die Zeichnung ein?

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Abstand = 1 ist ein Kreis um i mit Radius 1. (Zirkel!)

Wenn der Abstand grösser ist: Äusseres des Kreises markieren.

nach dem 'und'

hast du das Innere eines Kreises (Kreisscheibe ohne Rand)

wegen dem 'und' nimmst du zum Schluss die Schnittmenge der beiden Gebiete.
Also den bisher 2-farbigen Teil der Zahlenebene.
Achtung: Umrandung nur stricheln, da die Linie nicht zum gesuchten Gebiet gehört.

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also die Zeichnung ist furchtbar, aber hab ich das so richtig verstanden?

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Sieht im Prinzip gar nicht schlecht aus. Scheibe mit Loch am Rand ist ok.

Achte auf die Kreismittelpunkte i und 1+i: die sollten auf der gleichen Höhe sein.

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mach ich, dann hab ich hoffentlich jetzt verstanden, danke nochmal=)

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Und wie bestimmt man die Steigung der Mittelsenkrechten? Also bei dem ersten Frage.

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Steigung der Verbindungslinie der beiden Punkte ist ja 3/1 = 3. Vgl. meine Skizze.

Daher ist die Steigung des Lotes -1/3.