Question

Gegeben sei das Polynom f(x)=1/9x^3-1/3x^2-8/3x+26/2.
Bestimme die Nullstellen
Ich habe es mit Polynomdivision versucht,kann aber keine Nullstelle zum dividieren erraten.
Wie mache ich das nun ?

Comments

Wo hast Du denn das Polynom her?

Du musst selber wissen, ob Du für Gleichungen dritten Grades was anderes gelernt hast, als die erste Nullstelle zu raten.

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Das ist eine Übungsaufgabe,der prof meinte wir sollen mal schauen ob wir dafür auch schon einen Lösungsansatz finden

Bis auf die polynomdivision kenne ich aber keine andere Möglichkeit.. außer ich stehe jetzt auf dem Schlauch

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Schau Dir halt an, wie es Cardano im 16. Jh. gemacht hat.

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Man kann man auch numerisch lösen.

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numerisch bedeutet ? 

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Wenn Du das nicht weisst, sollst Du es auch nicht machen.

Answer 1

 f(x)=1/9x³-1/3x²-8/3x+26/2.  [ 26/2 (=13!)  als Koeffizient erscheint mir etwas seltsam! ]

hat nur eine reelle Nullstelle  x ≈ -5.417212210, die du natürlich nicht durch Probieren finden kannst.

Man verwendet dazu ein numerisches Näherungsverfahren, z.B. das Newtonverfahren:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Gruß Wolfgang

Answer 2

Es gibt mehrere Algorithmen zum Lösen kubischer Gleichungen. Die universelle (analog zur pq-Formel bei quadr. Gl.) kennt Ihr vermutlich nicht: PQRST-Formel mit komplexen Zahlen

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php  

x1 = 1-9*(2/(91-sqrt(5365)))^{1/3}-(91/2-sqrt(5365)/2)^{1/3} mit sqrt = Wurzel und hoch(1/3) = 3. Wurzel

=-5.4172122101096361098787580485867284748516245945349221...

Oder Cardanische Formeln...

Ihr kennt vermutlich nicht mal numerische Verfahren...
Deshalb vermute ich einen Schreibfehler -> oder hast Du Dir die Aufgabe selbst ausgedacht? Da kann man nichts raten! Kein Mathe.Lehrer bis zur 12. Klasse stellt solch komplizierte Aufgaben!

nach Multiplikation mit 9 ergibt das x³-3x²-24x+117=0 -> ich sehe da auch keine einfache Substitution, was manche Lehrer auch gern fragen. Also schau noch mal genau nach:   - Vorzeichen??    - Faktoren??

Oder Klammer vergessen, wenn x unter dem Bruchstrich?
Ich sehe gerade, dass Ihr schon einen Prof. habt -> dann vermute ich https://de.wikipedia.org/wiki/Kubische_Gleichung mit Reduktion auf Normalform + Subst x = α * z + β leider wird p nicht zu 0 -> deshalb der cosh - Fall
Oder habt Ihr einen Prof. der Euch nur zeigen will: es gibt andere Sonderfälle, die man nicht  durch Raten + Polynom-Div herausbekommen kann?
Oder soll das die Einleitung zur numerischen Mathematik sein: - Bisektion - Newton Verfahren ...

Answer 3

Hi,
bei der nummerischen Methode ist es wichtig, den richtigen Startwert zu wählen. D.h. man sollte sich Klarheit über den ungefähren Wert der Nullstelle verschaffen. Das kann man mittels der Nullstellenschranke, siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Polynom

Es ergibt sich ein Bereich von ca. \( [-10,10] \)
Dann kann man eine Grafik für den relevanten Bereich erstellen. Danach sieht man schnell, wo der Startwert liegen muss.

D.h. der Startwert sollte also bei -5 liegen. Die Ergebnisse des numerischen Verfahrens sieht man im folgenden.

 

Answer 4

Möglicherweise liegt hier ein Druck- oder Abschreibefehler vor, und es soll heißen$$\frac19x^3-\frac13x^2-\frac83x+\frac{26}{\pmb 9}=0.$$Dann wäre \(x_1=1\) eine Lösung, und man könnte mit einer Polynomdivision fortfahren.

Comments

So,das hier ist die ganze Aufgabe,ich habe mich auch gewundert wieso dort 26/2 steht..

Ich denke mal,mit dem Newton Verfahren sollte das dann geregelt sein,auch wenn ich mich dann erstmal einlesen muss dafür.

Dennoch vielen Dank an alle!