Zeigen, dass folgende Gleichungen für den Körper (K, +, ·) gelten

Question

ich scheiter momentan an meiner letzten Aufgabe. K sei ein Körper mit den Verknüpfungen + und ·. Gezeigt werden soll, dass folgende Gleichungen auf K gelten und aufgrund welcher Körpereigenschaften das der Fall ist:

1.) −a = (−1) · a für alle a ∈ K

2.) (−1)⁻¹ = −1

3.) (−a)⁻¹ = −(a⁻¹) für alle a ∈ K \ {0}

4.) a · b⁻¹ + c · d⁻¹ = (a · d + c · b)⁻¹ für alle a, c ∈ K; b, d ∈ K \ {0}

Jede Hilfe ist willkommen.

Gruß

Answer 1

Die erste kann man z.B. so machen: \(0=(1+(-1))a=a+(-1)a\). Da das Inverse eindeutig ist, folgt \((-1)a=-a\). Der Rest ist aehnlich. Musst Du halt ein bisschen knobeln.