Zeigen Sie: Ist (G, ·) eine Gruppe mit g · g = e ∀g ∈ G, so ist G

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Ist (G, ·) eine Gruppe mit g · g = e ∀g ∈ G, so ist G
abelsch. Gilt auch die Umkehrung?

Problem/Ansatz:

Ich kenne aus den bisherigen Vorlesungen nur sowas wie ,,Für alle a, b, c ∈ IN gilt:.." und in dieser Aufgabe verstehe ich die Definition der Gruppe G nicht, außerdem weiß ich nichtmal was mit der Umkehrung gemeint ist ,:D. Die Voraussetzungen für eine abelsche Gruppe kenn ich, aber wie man das dort verwendet versteh ich nicht. schonmal danke im Voraus!

Answer 1

Wenn in einer Gruppe für alle Elemente g∈G g·g=e

(also jedes Element zu sich selbst invers. # )

dann ist sie abelsch, also das heißt, dann gilt für alle

Elemente der Gruppe auch g·h = h·g.

Betrachte dazu zwei Elemente von G, etwa g und h.

Dann gilt für das Inverse von g·h :

        ( g·h )^-1 = h^-1 ·g^-1 weil g·h·h^-1·g^-1 = g·e·g^-1=e

andererseits aber ( g·h )^-1 = g·h, wegen #.

Also g·h =  h^-1 ·g^-1 = h·g weil jedes Element zu

sich selbst invers ist.

Die Umkehrung würde bedeuten:

In jeder abelschen Gruppe ist jedes Element zu

sich selbst invers. Das ist falsch, siehe z.B. (ℤ,+).

Comments

Ohne Inverse :

ba = bea = b·(ba)^2·a = b·ba·ba·a = b^2·ab·a^2 = e·ab·e = ab .

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Kommt man da leichter drauf ?

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Das ist meine Art, solche Sachen nachzuweisen, aber das mag individuell unterschiedlich sein.

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Hi danke für die sehr anschauliche Erklärung! Ich verstehe aber nicht, wieso bei (ℤ,+) die Elemente nicht zueinander invers sein sollten. Kann mir das jemand erklären?

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Bei (ℤ,+) ist z.B. das Inverse von +2 die -2.

Also ist die +2 nicht zu sich selbst invers.

Answer 2

Seien \(a,b\in G\). Dann gilt nach Voraussetzung

\(aa=e,\; bb=e\) und \((ba)(ba)=e\).

Nun gilt das Assoziativgesetz, so dass man Klammern

weglassen kann. Ferner lass ich die Verknüpfung weg:

\(ab=abe=abaa=eabaa=bbabaa=b((ba)(ba))a=bea=ba\).