Wenn in einer Gruppe für alle Elemente g∈G g·g=e
(also jedes Element zu sich selbst invers. # )
dann ist sie abelsch, also das heißt, dann gilt für alle
Elemente der Gruppe auch g·h = h·g.
Betrachte dazu zwei Elemente von G, etwa g und h.
Dann gilt für das Inverse von g·h :
( g·h )-1 = h-1 ·g-1 weil g·h·h-1·g-1 = g·e·g-1=e
andererseits aber ( g·h )-1 = g·h, wegen #.
Also g·h = h-1 ·g-1 = h·g weil jedes Element zu
sich selbst invers ist.
Die Umkehrung würde bedeuten:
In jeder abelschen Gruppe ist jedes Element zu
sich selbst invers. Das ist falsch, siehe z.B. (ℤ,+).