Bestimmen Sie für die Potenzreihe x^k den Konvergenzradius

Question

bestimmen Sie für die Potenzreihe $$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { x }^{ k } } $$ den Konvergenzradius. Was ist hier mein a_n und wieso?
Hier ist noch ein Beispiel: $$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { x }^{ k } } =\lim _{ n->\infty  }{ \frac { 1-{ x }^{ n+1 } }{ 1-x }  } =\frac { 1 }{ 1-x } $$ Wie kommt man darauf? Woher kommt die 1- im Nenner und Zähler? Die Formel lautet doch: $$ \lim _{ n->\infty  }{ \left| \frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } }  \right|  } $$
Grüße

Answer 1

Was ist hier mein a_n und wieso?

an = 1, weil 1 * x^k = x^k. 

Danach wird die Summenformel für geometrische Reihen benutzt (um den Grenzwert auszurechnen). Bei dieser weiss man bereits, dass |x| < 1 sein muss.

Den Konvergenzradius würdest du als r = 1/1 = 1 berechnen.