Wenn die Reihe ak konvergent ist, ist dann ist auch...

Question

bei folgender Aufgabe, zweifel ich an meiner Lösung:

Sei a_k eine reelle Folge mit a_k ≥ 0 für ∀k∈ℕ . 

Zeige

So habe ich gerechnet:

Stimmt meine Lösung?

Muss ich denn beim Majorantenkriterium die Definition immer hinschreiben?Ist die Definition überhaupt richtig?  Danke ;)

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Aus Duplikat:

folgendes Problem:

Sei a_k eine relle Folge mit a_k≥0 ∀ k∈ℕ

Zeige, dass wenn

sk= $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { a }_{ k } }  $$ konvergiert,

dass auch $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { { { a }_{ k } } }{ 1+{ a }_{ k } }  }  $$ konvergiert

Könnte ich als Ansatz sagen, dass

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { { { a }_{ k } } }{ 1+{ a }_{ k } }  } $$

das gleich ist wie $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ 1-\frac { 1 }{ 1+{ a }_{ k } }  }  $$

wenn s_k konvergiert muss a_k eine nullfolge sein; d.h. aber, dass der umgeformte ausdruck gegen 0 laufen würde

daraus kann ich aber nicht schließen, dass die Reihe konvergiert

Hat irgendeiner eine Idee?

Comments

vielleicht hilft der Ansatz, dass gilt:

$$ \forall k \qquad a_k >= \frac{a_k}{1+a_k} >= 0 $$

und

$$ \forall n \in \mathbb{N} \quad \exists \epsilon > 0 \quad \text {derart dass} \quad  \vert a_n - a_0 \vert < \epsilon $$

damit muss das Konvergenzkritirium auch für die neue Folge gelten, da die einzelnen Folgenglieder <= der ursprünglichen Folgenglieder und >= 0 sind.

Gruß

Answer 1

dass \(a_k\) konvergiert ist ja klar, muss ja eine Nullfolge sein.

Was du meinst ist: Da \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_k\) konvergiert, folgt mit dem Majorantenkritierium, dasss auch \(\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{1+a_k} \) konvergiert.

Gruß

Comments

Also kurz gesagt falsch? :/