Maximum-Likelihood-Schätzung

Question

Wir betrachten eine iid-Stichprobe X₁ .... X_n aus der Poissonverteilung Poi(λ).

$$f\left( x \right) =\frac { { \lambda  }^{ x } }{ x! } { e }^{ -\lambda  }$$

a) Zeigen Sie, dass $$\widehat { \lambda  } =\quad \overline { X } $$ die Maximum-Likelihood-Schätzung für λ ist. 

Wie stelle ich die Likelihood-und die Log-Likelihoodfunktionen auf?

Answer 1

Da die \(X_i\) iid sind, erhält man als Likelihoodfunktion

$$ L_{x_1,\dots, x_n}(\lambda) = P(X_1=x_1, \dots, X_n = x_n | \lambda) = f(x_1)\cdots f(x_n) = \frac{\lambda^{x_1+\dots +x_n}}{x_1!\cdots x_n!} e^{-n\lambda}.$$

Die log-Likelihoodfunktion erhältst du daraus wie folgt:

$$ \ell_{x_1,\dots, x_n}(\lambda) = \ln(L_{x_1,\dots,x_n}(\lambda)). $$

Diese Funktion musst du jetzt berechnen und maximieren.

Comments

Die Berechnung bzw. die Zwischenschritte verstehe ich ja nicht. 

$$ L(\lambda )=\prod _{ i=1 }^{ n }{ f({ x }_{ i })\quad =\quad \prod _{ i=1 }^{ n }{ \frac { { \lambda  }^{ { x }_{ i } } }{ { x }_{ i }! } { e }^{ -\lambda  } }  }  $$

$$l(\lambda )=log(L(\lambda ))=log(\prod _{ i=1 }^{ n }{ \frac { { \lambda  }^{ { x }_{ i } } }{ { x }_{ i }! } { e }^{ -\lambda  }) } $$

Ich weiß halt nicht, wie ich L(λ) und l(λ) zusammenfassen soll. Die erste Ableitung kann ich schon bilden. 

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Potenzgesetze brauchst du. Mehr nicht. Und bei der Log-Likelihood Funktion halt noch Logarithmengesetze.

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Könntest du mir vielleicht erklären, was diese Person, die diese Aufgabe gelöst hat, gemacht hat?

$$ L(\lambda )\quad =\quad \prod _{ i=1 }^{ n }{ \frac { { \lambda  }^{ { x }_{ i } } }{ { x }_{ i }! }  } { e }^{ -\lambda  }=\quad { \lambda  }^{ n\overline { x }  }*{ e }^{ -\lambda n }*\prod _{ i=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { x }_{ i }! }  }  $$

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Der hat doch das Gleiche wie LC.

Grund x^Quer = 1/n (x1 + x2 + .... + xn) 

∏ ist das Produktzeichen, das gleich funktioniert, wie das Summenzeichen.