Variablen einer Sinusfunktion bestimmen

Question

Ich kann den Denkfehler in meiner Lösung nicht finden, vielleicht kann mir jemand einen Schubs geben.

y = a*sin(bx + c), a > 0, b > 0

Erstes Maximum bei (3;5), erstes Minimum bei (10; -5). Ges: a,b,c

Meine Lösung:

a = 5

p = (10-3)*2 = 14 ⇒ b = 2π/14 = π/7

Phasenverschiebung c/b ist die Differenz der ersten Maxima π/2 - 3 ⇒ c = (π/2 - 3) * π/7 ≈ -0,6414

⇒ y = 5* sin(π/7*x - 0,6414)

Leider sieh diese Funktion auf dem Graphenzeichner anders aus als sie sollte...

Answer 1

> Erstes Maximum bei (3;5), erstes Minimum bei (10; -5)

Die Funktion muss so horizontal gestreckt werden, dass eine halbe Periode 7 ist, anstatt π (also eine Periode ist 14 anstatt 2π). Das liefert

sin(x) hat Periode 2π

sin(2πx) hat Periode 1

sin(2πx/14) hat Periode 14, also halbe Periode 7.

Vereinfacht bekommt  man sin(π/7·x).

Jetzt muss die Funktion noch so nach links verschoben werden, dass das erste Maximum bei 3 liegt. Das erste Maximum liegt jetzt bei dem x, für das π/7·x=π/2 ist. Nach x aufgelöst bekommt man x = 3,5. Es soll bei 3 liegen. Also verschiebt man 3,5 nach links und 3 nach rechts, was sich zu einer Verschiebung um 0,5 nach links zusammenfassen lässt.

Verschiebung um 0,5 nach links führt man aus, indem man x durch x+0,5 ersetzt. Man bekommt

y = sin(π/7·(x+1/2))

Mit 5 multipliziert und in die verlangte Form gebraccht ergibt sich

y = 5sin(π/7·x+π/14)

Answer 2

y = a*sin(bx + c), a > 0, b > 0

Erstes Maximum bei (3;5), erstes Minimum bei (10; -5). Ges: a,b,c

Den Streckungsfaktor in y-Richtung a können wir zunächst  unbeachtet lassen.
Die x-Stellen fürs Maximum und Minimum werden verwendet.

Für die sin-Funktion gilt
1.Maximum : sin ( π / 2 )
1.Minimum : sin ( 3 /2 * π )

sin(bx + c) hat das Maximum bei x = 3 also gilt
sin ( b * 3 + c ) = sin ( π / 2 )
oder
b * 3 + c  = π / 2

sin(bx + c) hat das Minimum bei x = 10 also gilt
b * 10 + c = 3 / 2 * π

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
b * 3 + c = π / 2
b * 10 + c = 3 / 2 * π
b = -π/7
c = 13/14 * π

sin (  -π/7 * x + 13/14 * π )

und noch den Streckungfaktor a = 5 hinzu

y =  5 * sin (  -π/7 * x + 13/14 * π )

~plot~ 5 * sin (  -π/7 * x + 13/14 * π ) ; [[ 0 | 11 | -6 | 6 ]] ~plot~