Taylorreihe einer Funktion aufstellen bis wohin? a) f(x) = a^x

Question

Ich habe die folgende Aufgabe zu lösen und weiß auch wie ich eine Taylorreihe aufstelle, nur verstehe ich die Aufgabe nicht wirklich, da ich ja hier unendlich lange Terme aufstellen müsste ;)

a) f(x) = a^x 

Taylorreihe Koeffizienten a_(n) explizit angeben.

Answer 1

bei dieser Aufgabe wird nach einer Formel für a_n in Abhängigkeit von n verlangt.

Natürlich sollst du nicht jedes a_n einzeln ausrechnen.

Eine Möglichkeit wäre z.B. a₀, a₁ und a₂ sich zu überlegen und daraus eine Formel zu entwickeln.

Comments

Das heißt also ich setze die Funktion inklusive der ableitungen in die allgemeine Formel ein und kann dann an den ersten Ergebnissen eine Formel für die gegebene Funktion ablesen?

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Genau,

bei e^x z.B. würde es so aussehen.

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Ich habe noch die Info bekommen, dass ich alle Koeffizienten hischreiben muss, aber die funktionen wohl so gewählt sind das das nicht unendlich viele sind....wie habe ich das zu verstehen?

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Naja, wenn du bemerkst, dass z.B. nur 5 Koeffizienten ungleich null sind, kannst du sie einzeln aufschreiben.

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Wenn ich jetzt bei der a so anfange:

1+log(a)*x+(log(a)^2*x^2)/2+(log(a)^3*x^3)/6

Was sind dann die Koeffizienten?

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Einfach in die Formel einsetzen.

a₀ = 1

a₁ = ln(a)

a₂ = (ln(a))²/2

...

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Ja. So hab ich das auch. Aber das kann Ich ja jetzt wieder unendlich weitermachen :(

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Ja, kannst du machen, oder du überlegst dir, wie a_n aussieht, dann hast du es für alle auf einmal gemacht. ;-)

Answer 2

Bei a) und c) kannst du es eigentlich sofort hinschreiben, wenn du die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion kennst.

Bei b) musst du eben die ersten paar Koeffizienten bestimmen und dann eine Gesetzmäßigkeit erkennen, die du z.B. per Induktion beweisen kannst.

Comments

danke für die schnelle antwort.

Mein Problem ist, das ich nicht weiß, wie ich jetzt die a z.B. "aufschreibe" Könntest du da evt ein Beispiel geben?