Funktionenschar ft(x) = tx^3 - 4tx. ft soll f4 im Ursprung orthogonal schneiden. t?

Question

Bestimmen Sie den Parameter t so, dass der Graph von f_t den Graphen von f₄ im Koordinatenursprung orthogonal schneidet.

f_t(x) = tx^3-4tx

Kein Ansatz weil ich da überhaupt nicht weiß was man machen könnte.

Answer 1

Löse die Gleichung f'_t(0) = -1/f'₄(0)

Answer 2

schreibe doch mal f_(4) hin. Das ist

f_(4) = 4x^3-4*4*x = 4x^3 - 16x

Nun bilde die Ableitung und bestimme den Wert an der Stelle 0. Das entspricht ja der Steigung.

f_(4)' = 12x^2 - 16

f_(4)'(0) = 12-16 = -4

Folglich können wir schon erahnen, dass die Ableitung der zu suchenden Funktion f_(t) = 1/4 ist. Denn nur dann sind die beiden zueinander orthognal (erinnere Dich: m_(1)*m_(2) = -1).

f_(t)' = 3tx^2 - 4t

f_(t)'(0) = 3t - 4t = 1/4

-t = 1/4

t = -1/4

Unsere Funktion lautet also:

f_(1/4)(x) = 1/4x^3 - x

Alles klar?

Grüße

Comments

Jo, danke. Manches ist im Prinzip immer ganz simpel aber erst im Nachhinein.

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:D Einfach mal loslegen.

Gerne

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Hallo unknown,

es sind ein paar Rechenfehler bei dir vorhanden.
Ich korrigiere einmal

schreibe doch mal f₄ hin. Das ist

f₄ = 4x³-4*4*x = 4x³ - 16x

Nun bilde die Ableitung und bestimme den Wert an der Stelle 0. Das entspricht ja der Steigung.

f₄' = 12x² - 16

f₄'(0) = 0 -16 = -16

Folglich können wir schon erahnen, dass die Ableitung der zu suchenden Funktion f_t = 1/16 ist.
Denn nur dann sind die beiden zueinander orthognal (erinnere Dich: m₁*m₂ = -1).

f_t' = 3tx² - 4t

f_t'(0) = 3t*0 - 4t = -4t = 1/16

-t = 1/64

t = -1/64

Unsere Funktion lautet also:

f _-1/64 ( x ) = -1/64 * x³ + 1/16 * x

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Oh danke Dir. War wohl schon etwas spät :/.

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Dies hat zwar nichts mit der Aufgabe zu tun ist aber ein guter Tip für den
Alltag :

Was kann man machen falls man vor einer Flugreise Angst hat im Flugzeug
könnte eine Bombe sein?
Man nimmt auch eine Bombe mit.
Die Wahrscheinlichkeit dass 2 Bomben in einem Flugzeug sind ist
nahezu null.

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f_t'(0) = 3t*0 - 4t = -4t = 1/16 wie kommst du eigentlich darauf ? Also das -4t = 1/16.

Und warum kann man erahnen das die Ableitung der zu suchenden Funktion f_t = 1/16 ist ? Und was ist in dem Fall m1*m2 = -1 , also was ist m1 und was m2 ?

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m steht für Steigung. Zwei Geraden sind orthogonal zueinander, wenn die Steigung multipliziert

-1 ergeben. Daher dann auch die 1/16 ;)

Ok?

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Shit... nein. Was gibt den daran -1 ? Also was ist denn m1 und was m2. Also wie gibt das durch 1/16 = 1 ?

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Du hattest oben

f₄'(0) = 0 -16 = -16  verstanden? Das ist die eine Steigung, also m1.

Die Steigung des Lotes ist m2.

und es muss gelten m1 * m2 =  -1  (Das hast du mal bei den linearen Funktionsgleichungen gelernt.

Also: -16 * m2 = -1   | : (-16)

m2 = 1/16 

und das ist die geforderte Steigung vom gesuchten f_(t) an der Stelle x=0.

f_t'(0) = 3t*0 - 4t = -4t = 1/16

Nun kannst du das gesuchte t bestimmen. 

Ganz komprimiert hat dir Oswald oben diesen Plan vorgegeben mit: "Löse die Gleichung f'_t(0) = -1/f'₄(0) "

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Orthogonalität von linearen Funktionen: https://www.matheretter.de/wiki/schnittpunkt#orthogonal

Im Inhaltsverzeichnis Spezialfall: Orthogonalität wählen.