Geometrische, Harmonische und Quadratische Mittelwert

Question

Meine Aufgabe ist es folgende Aufgaben ohne Tachenrechner  zu lösen. Mit Taschenrechner wäre das kein Problem, bei b) würde ich z.B die 5 Wurzel ziehen, von den jeweiligen zahlen, die in der Wurzel multipliziert werden inkl. n (in dem Fall 5). Wie kann ich das aber ohne TR. lösen ??

Aufgabe: Bestimmen Sie die folgenden Mittelwerte ohne Taschenrechner. Geben sie den Rechenweg, nachvollziehbar an. 

a) Arithmetischer Mittelwert von 1,2,4,8,16   (Hier habe ich einfach alles zsm. addiert und dann das Ergebnis durch 5 geteilt und hab da 6,2 raus, wofür man ja auch kein TR braucht)

b Geometrische Mittelwert von 1,2,4,8,16

c) Harmonische MIttelwert von: 1,2,4,8,16

d) Quadratische Mittelwert von: 1,3,4,5,7

Answer 1

a) ist richtig

bei b) und c)  hat man nur Zweierpotenzen

[ deren Summe kann man bei vielen Summanden mit der

Formel \(\sum\limits_{k=0}^{n} 2^k\) = 2•(2ⁿ - 1) +1 ausrechnen.]

b) geometrischer Mittelwert:

⁵√(1 • 2 • 2² • 2³ • 2⁴) = ⁵√ (2¹⁰) = 2^10/5 = 2² = 4

c) Harmonischer Mittelwert:  https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonisches_Mittel

√[\(\frac{5}{1+1/2+1/4+1/8+1/16}\) ] = √[ \(\frac{5}{(16+8+4+2+1) / 16}\) = √[ 5 •16 / 31] = 4 √(5/31) = 4/31•√155

d) Quadratischer Mittelwert:  https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratisches_Mittel

√ [ \(\frac{1+3^2+4^2+5^2+7^2}{5}\)]  =  √ 20 = 2·√5

[ Man kann Wurzeln "von Hand" ausrechnen, aber das sollst du hier wohl nicht tun (einer der seltenen Fälle, in denen ich mit dem Mann "voller Hoffnung" einer Meinung bin :-) ]

Gruß Wolfgang

Answer 2

$$  \bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsm x_n}  $$
$$    \bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}  $$
$$  \mathrm{QMW}= \sqrt{\frac1n \sum_{i=1}^n{x_i^2}} =\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}n}   $$

Anstelle vor den Zahlen ins Schlottern zu geraten, würde ich die einfach mal einsetzen (ich hab mal vorsichtshalber die Formeln dazugeschrieben - wer weiß , ob du die überhaupt kennst)

Wenn man sich nicht mit einem Brett vorm Kopf davor schützt, springt ins Auge, dass Potenzen von 2 vorkommen, die sich recht angenehm behandeln lassen.

Nun sei guten Mutes auch die letzte Aufgabe ohne elektronisches Zerebralsurrogat anzugehen.

(Es bleibt ein Wurzelterm, der nicht umzudezimalisiert werden braucht)