Konvergenz von Reihen und Grenzwert

Question

∞
∑         (2i)^k + 3^k-1
_k=1      ---------------
                 5^k

∞
∑              1
_n=1      ---------------
             4*n² - 1

Die Lösungen kenne ich, aber wie gehe ich am besten vor?

Comments

wenn du etwas kennst, solltest du es mitteilen, ist manchmal bei der Lösungsfindung hilfreich

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Lösung für der 1. Reihe: 21/58 + 10i/29

Lösung für die 2. Reihe: 0.5

Wie gesagt, die Lösungen allein helfen mir nicht.

Answer 1

Die erste Reihe kannst du in zwei aufteilen, einmal mit

den Summanden ((2i)/5)^k  und die andere durch

Rausziehen von 1/3 ist das 1/3 * Reihe über (3/5)^k  .

Mit der Summenformel für die geo. Reihe

1 / ( 1 - 2i/5)  + 1/3 *  1 / ( 1 - 3/5) bekomme

ich 295/174  +  10/29 * i

Die zweite sieht nach Teleskopsumme aus; denn

1 / ( 4n^2 - 1 ) =   1 / ((2n-1)*(2n+1)) = 0,5/(2n-1) - 0,5/(2n+1)

bleibt also 0,5 übrig.

Comments

Der erste Summand 295/174 für den Grenzwert der ersten Reihe ist falsch. Da muss 21/58 rauskommen.

Und wie kommst du darauf, einfach (3/5)^k zu schreiben für 3^{k-1}/5^k ?

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3^k-1/5^k  mit 3 erweitern   

=  3^k/(3*5^k  )

=   ( 1/3 ) * (  3^k/5^k  )

=   ( 1/3 ) * (  3/5  )^k  

und das 1/3 rausziehen vor die Summe

Und der 1. Summand ist falsch, weil ich wohl bei

den Summen bei k=0 angefangen habe und nicht bei 1.

Also muss man den 0-ten Summanden noch abziehen,

der beträgt 4/3 , dann passt es.

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Jetzt ist es mir klar geworden. :)