Ableitung? Implizites Differenzieren zu f ' (x)? hatte das noch nie

Question

Versteh nur Bahnhof , kann mir jemand weiterhelfen. Mit Produkteregel komm ich nicht weiter.

Es sei a €R . WIR betrachten die Gleichung .

3 (f (x))^5 (x-1)^2+ xf (x)=3ax+3cos (x).

1.) Bestimmen Sie mittels impliziter Differentiation f'(x) und x.

2.) Bestimmen sie die Tangente von f um Xo =0

3.) Bestimmen Sie , falls Existent alle Werte für a, so dass 

(i)  die Tangente aus Teil  2) durch den Ursprung geht.

(ii) die Ableitung der Tangente aus Teil 2 ) gleich 0.

Comments

3 (f (x))⁵ (x-1)²+ xf (x)=3ax+3cos (x).

Stell einmal die Frage als Foto ein oder
stell zumindest die Frage in der üblichen Schreibweise.

Was ist ( f ( x))^5 ) oder
xf ( x) ?

---

das hier ist die aufgabe... bin verzweifelt

---

das hier ist die aufgabe .. Hab kein plan wie ich die berechnen soll :(

---

wie bestimme ich jetzt von f die tangete?

Answer 1

Ich probier mal das a): 

3 (f (x))⁵ (x-1)²+ xf (x)=3ax+3cos (x)          | implizit nach x abgeleitet

15 (f(x))^4 * f ' (x) (x-1)^2 + 3*(f(x))^5 *2* (x-1)*1 + f(x) + x*f'(x) = 3a - 3sin(x)     

                                   |auflösen nach f ' (x)

f ' (x) * (15 (f(x))^4 * (x-1)^2 + x ) =  - 3*(f(x))^5 *2* (x-1)  - f(x) + 3a - 3sin(x) 

f ' (x)  = ( - 3*(f(x))^5 *2* (x-1)  - f(x) + 3a - 3sin(x) ) /  (15 (f(x))^4 * (x-1)^2 + x )

Erst mal nachrechnen (korrigieren) und dann, wenn du willst den resultierenden Bruch noch etwas vereinfachen. Viel einfacher wird das aber eher nicht mehr. 

Mehr Theorie dazu: Schau  mal bei den "ähnlichen Fragen" rein. 

Comments

bin mir jetzt , aber nicht sicher wegen der aufgabe a .. muss man die gleichung überhaupt ableiten oder nur eine funktion draus machen? ich versteh die Aufgabenstellung nicht

---

"Gleichung so, wie gemacht, nach x ableiten" ist dasselbe wie "mittels impliziter Differentiation". 

Da kein f ' (x) vorhanden ist, musst du zwingend ableiten. 

Beispiele: https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation#Beispiel_1

Answer 2

Bei der impliziten Differentiation musst du einfach beide Seiten nach x ableiten. Also sagst du z.B., dass deine Gleichung g(x)=h(x) lautet, mit passenden Funktionen g(x) und h(x) (linke und rechte Seite der Gleichung).

Dann musst du nur noch mittels der Differentiationsregeln g'(x), h'(x) bestimmen, die Gleichung g'(x)=h'(x) nach f'(x) freistellen und du bist fertig.

Die Tangente an einen Punkt x0 legt man mit folgender Formel:

$$T: y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)$$

berechnen. x0 ist ja 0, f(0) solltest du durch Umformen der Gleichung erhalten können und dann hast du auch f'(0), indem du 0 und f(0) für x und f(x) einsetzt.

Die Tangente an f in x0 geht durch null, falls f(x0)=0 gilt.

Die Ableitung der Tangente ist gleich der Ableitung von f, also hast du hier die Bedingung f'(x0)=0.