Wo gibt es keinen Punkt mit waagerechter Tangente?

Question

wir schreiben am Montag eine Matheklausur in der 10. Klasse des Gymnasiums(1. Jahr Oberstufe) über Ableitungsfunktionen. Eigentlich kann ich alles, nur eine Aufgabe hat mir größere Probleme bereitet:

Für welche Werte von t hat der Graph von f mit f(x) = 0,5x³ + tx² + 6x - 2

a) keine Punkte mit waagerechter Tangente

b) genau einen Punkt mit waagerechter Tangente ?

Dazu muss noch begründet werden, warum dieser Punkt kein Extremwert ist.

Ich habe dies folgendermaßen gemacht, glaube aber, dass es falsch ist:

a)  Ich habe erst einmal die Ableitungsfunktion gebildet:

f´(x) = 1,5x² + 2tx + 6

Dann habe ich 0 für f´(x) eingesetzt, da ich dann ja heraushabe, wann die Gerade überhaupt eine waagerechte Tangente besitzt:

0 = 1,5x² +  2tx + 6      |  : 1,5

0 = x² + 4/3 x + 4         | quadratische Ergränzung

0 = x² + 4/3 x + (4/3 : 2)² - (4/3t : 2)²  + 4  | ausklammern

0 = (x + 2/3) ² - 4/9 t² + 4  | + 4/9 t² - 4

4/9 t² -4 = (x + 2/3)²    | √  Ich setze die Wurzel mal in Klammern, hat aber keine Bedeutung

√(4/9t² -4) = x + 2/3   | - 2/3

√(4/9t² -4) - 2/3 = x

Wie bekomme ich jetzt t raus? Und wie löst man Aufgabe b) ?

für die Hilfe :)

Answer 1

Wenn der Term unter der Wurzel kleiner Null ist, gibt es keine Tangente, ist der Wert gleich Null, gibt es eine Tangente.
Ermittle die  jeweiligen Werte für t.

Answer 2

0 = 1,5x² +  2tx + 6      |  : 1,5

0 = x² + 4/3 x + 4         | quadratische Ergränzung

hier fehlt schon einmal das t

0 = x² + 4/3 * t * x + 4  | quadratische Ergänzung
x² + 4/3 * t * x  ⁺ ( 2/3*t)^2 = ( 2/3*t)^2 - 4
( x + 2/3 * t )^2 =  ( 2/3*t)^2 - 4
x -2/3 = ±√ ( ( 2/3*t)^2 - 4 )
x = ±√ ( ( 2/3*t)^2 - 4 ) + 2/ 3

falls
4/9*t^2 - 4 < 0 hat die Gleichung im reellen keine Lösung
4/9 * t^2 < 4
t^2 < 9
-3 < t < 3

Grafik für t = 1

~plot~ 0.5 * x^3 + 1*x^2 + 6*x - 2 ~plot~

Comments

1 waagerechte Tangente
falls
4/9*t^2 - 4 = 0
4/9 * t^2 = 4
t^2 = 9
t = 3
t = -3

f´(x) = 1,5x² + 2tx + 6
f ´´ ( x ) = 3 * x + 2 * t
t = 3
f ´´ ( x ) = 3 * x + 2 * 3
Sattelpunkt / Wendepunkt
3 * x + 2 * 3 = 0
x = -2
und t = -3
x = 2

Grafik für t = 3

~plot~ 0,5*x^{3}+3*x^2+6*x-2  ; [[ -4 | 2 | -10 | 5 ]]~plot~