Größter gemeinsamer Teiler, Zusammenhänge beweisen

Question

Wir betrachten natürlich Zahlen a>1 und n ≥m > 0. Zeige: 

Genau dann ist a^m-1 ein Teiler von aⁿ-1, wenn m ein Teiler von n ist.

Ich muss hier ja zwei Richtungen zeigen, weiß aber trotzdem nicht so genau, wie ich den Beweis angehen soll... 

Danke für die Hilfe!

Answer 1

m teilt n heißt : es gibt ein k aus N mit n=k*m

Dann gilt ( a^n - 1 ) = ( a ^k*m - 1 )

= ( (a ^m ) ^k - 1 )

= ( a^m - 1 ) * (  1 + a^m + a^2m + ....  + a ^(k-1)*m ) .

Und weil die zweite Klammer auch eine nat. Zahl ergibt, ist also

a^n - 1  durch  a^m - 1 teilbar.

Für die andere Richtung habe ich auch grad keine Idee.

Comments

Vielen Dank auch schonmal dafür!

Und eigentlich ist es doch egal, was in der zweiten Klammer steht, sobald doch der erste Faktor teilbar ist, ist es doch auch das ganze Produkt, oder nicht ?

---

Klar, aber wenn in der 2. Klammer jetzt ein Bruch stünde, ginge es halt nicht.