Für welche c € R ist die Menge ein Untervektorraum von P?

Question

ich bin von der folgenden Aufgabe etwas verwirrt.

p €  P mit p(x) = x(3x^2+x+4)

'Für welche c € R ist die Menge U_c = { p € P_3 | p(0) = c }

ein Untervektorraum von P?'

Mein einziger Ansatz wäre p(0) zu berechnen, woraus sich p(0) = 0 =  c  ergibt.

Aber das wird wohl kaum die Lösung sein. Könnte mir jemand erklären was hier zu tun ist?

Comments

Ich schätze das hier: p €  P mit p(x) = x(3x²+x+4)

gehört zu einer Aufgabe davor? Deine Lösung, dass die betrachtete Menge nur für \(c=0\) ein UVR ist übrigens richtig allerdings ist die Begründung nicht ausreichend für einen Beweis.

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p € P_3 mit p(x)=x(3x^2+x+4)  war auch in einer Aufgabe davor enthalten, aber ich habe den Index vergessen, entschuldige.

In der Aufgabe wird zwar kein Beweis verlangt, aber es kann ja nicht schaden. Wie sieht so ein Beweis aus?

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Also, wir haben neulich folgende Aufgabe bekommen:

P₃=(p:ℝ→ℝ / p(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³) also den Raum der reellen Polynome vom Grad≤3

Nun sollen wir das Folgende herausfinden:

Für welche c∈ℝ ist die Menge U_c=(p∈P₃/ p(0)=c) ein Untervektorraum von P₃ ?

Wenn c=p(0) ist ja c das Absolute Glied eines jeden Polynoms und kann beliebige Werte innerhalb von ℝ annehmen.

Wie kann ich berechnen für welche c   U ein Untervektorraum ist ?

Answer 1

also lag ich richtig, dass diese Information nicht mehr dazu gehört.

Ich denke schon, dass du deine Aussage beweisen/begründen musst. Basis dafür ist folgender Gedanke. Stell dir vor du hast 2 Polynome \(p,q \in U_c\).

Ist dann auch \(p+q \in U_c\)?

Gruß

Answer 2

P₃ = { P∈P₃ | P(0) = a₀ , a₀ ∈ℝ }  =   { P∈P₃ | P(0) = c , c ∈ℝ } = U_c

Ich halte die Fragestellung deshalb für ziemlich unsinnig.

Gruß Wolfgang

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Tut mir leid, aber das War die Aufgabe.

Theoretisch könnte c ja beliebig sein, oder?