Antwort mit KI erzeugt
Ist R ein Untervektorraum von V?
Um zu überprüfen, ob \(R\) ein Untervektorraum von \(V\) ist, müssen wir drei Kriterien überprüfen:
1. Ist \(R\) nicht leer?
2. Ist \(R\) abgeschlossen bezüglich Vektoraddition?
3. Ist \(R\) abgeschlossen bezüglich Skalarmultiplikation?
Kriterium 1: Ist \(R\) nicht leer?
\(R\) enthält per Definition alle Funktionen \(f\) im Raum \(V\), die die Bedingung \(f(\frac{1}{2}) = 0\) erfüllen. Da die Nullfunktion \(0(x) = 0\) für alle \(x\) im Intervall \([0,1]\) die Bedingung \(0(\frac{1}{2}) = 0\) erfüllt, gehört diese zur Menge \(R\). Da es mindestens ein Element in \(R\) gibt, ist \(R\) nicht leer.
Kriterium 2: Ist \(R\) abgeschlossen bezüglich Vektoraddition?
Angenommen, \(f\) und \(g\) sind Elemente von \(R\), was bedeutet, dass \(f(\frac{1}{2}) = 0\) und \(g(\frac{1}{2}) = 0\). Wenn wir zeigen können, dass \(f + g\) auch in \(R\) ist, hätten wir bewiesen, dass \(R\) abgeschlossen unter Vektoraddition ist.
Sei \(h = f + g\), dann gilt für \(h\) bei \(x = \frac{1}{2}\):
\(
h(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2}) + g(\frac{1}{2}) = 0 + 0 = 0
\)
Somit erfüllt die Funktion \(h\) die Bedingung, um in \(R\) zu sein. Daher ist \(R\) abgeschlossen unter Vektoraddition.
Kriterium 3: Ist \(R\) abgeschlossen bezüglich Skalarmultiplikation?
Um zu testen, ob \(R\) abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist, nehmen wir eine Funktion \(f\) in \(R\) und einen Skalar \(\alpha\). Die Funktion \(f\) erfüllt \(f(\frac{1}{2}) = 0\). Betrachten wir die Funktion \(g = \alpha f\), müssen wir zeigen, dass diese die Bedingung für \(R\) erfüllt, nämlich \(g(\frac{1}{2}) = 0\).
Für \(g\) gilt bei \(x = \frac{1}{2}\):
\(
g(\frac{1}{2}) = \alpha f(\frac{1}{2}) = \alpha \cdot 0 = 0
\)
Da dies unabhängig vom gewählten \(\alpha\) und \(f\) zutrifft, ist \(R\) auch abgeschlossen unter Skalarmultiplikation.
Da alle drei Kriterien erfüllt sind, können wir schlussfolgern, dass \(R\) ein Untervektorraum von \(V\) ist.
