Antwort mit KI erzeugt
Bestimmung der Teilmenge P und Überprüfung auf Untervektorraum
Um die Aufgabe zu bearbeiten, gehen wir schrittweise vor.
1. Teilmenge P ⊆ V
Funktionen \(f\) von Grad ≤ 2 können allgemein als \(f(x) = ax^2 + bx + c\) geschrieben werden, wobei \(a\), \(b\), und \(c\) reelle Zahlen sind.
Das Skalarprodukt \(\langle f | h \rangle\) mit \(h(x) = 3x\) ist definiert als:
\(
\langle f | h \rangle = \int_{0}^{1} f(x)g(x) \, dx = \int_{0}^{1} (ax^2 + bx + c)(3x) \, dx
\)
Das ausgerechnet gibt:
\(
\int_{0}^{1} (3ax^3 + 3bx^2 + 3cx) \, dx = \left[ \frac{3a}{4}x^4 + x^3 + \frac{3c}{2}x^2 \right]_0^1 = \frac{3a}{4} + b + \frac{3c}{2}
\)
Damit \(\langle f | h \rangle = 0\) ist, muss gelten:
\(
\frac{3a}{4} + b + \frac{3c}{2} = 0
\)
Diese Gleichung definiert eine Bedingung, die \(a\), \(b\), und \(c\) erfüllen müssen, damit \(f\) in der Menge \(P\) liegt.
Um zu überprüfen, ob \(P\) ein Untervektorraum von \(V\) ist, müssen wir drei Kriterien prüfen:
- Enthält \(P\) das Nullvektor? Ja, das Polynom \(0x^2 + 0x + 0\) liegt in \(P\), da es Grad ≤ 2 hat und das Skalarprodukt \(\langle 0 | h \rangle = 0\) erfüllt.
- Abgeschlossenheit gegenüber der Addition: Sind \(f, g \in P\), so muss auch \(f + g \in P\) sein. Da die Summe zweier Polynome vom Grad ≤ 2 wieder ein Polynom vom Grad ≤ 2 ist und die Bedingung für das Skalarprodukt linear ist, erfüllt auch \(f + g\) die Bedingung \(\langle f+g | h \rangle = 0\).
- Abgeschlossenheit gegenüber der Skalarmultiplikation: Ist \(f \in P\) und \(\lambda\) eine reelle Zahl, so muss auch \(\lambda f \in P\) sein. Da die Skalarmultiplikation das Skalarprodukt \(\langle \lambda f | h \rangle = \lambda \langle f | h \rangle\) ergibt und \(\langle f | h \rangle = 0\) ist, ist auch hier die Bedingung erfüllt.
Fazit: Die Menge \(P\) der Polynome von Grad ≤ 2 für welche \(\langle f | h \rangle = 0\) ist, ist ein Untervektorraum von \(V\).
2. Teilmenge Q ⊆ V
Q ist definiert durch die Polynome \(f\) von Grad ≤ 3, die \(\langle f - h | f - h \rangle = 3\) erfüllen. Dies ist eine bestimmte Bedingung und gilt nicht für alle Skalare \(\lambda\), d.h. wenn man ein Polynom \(f\) mit einem Skalar \(\lambda \neq 1\) multipliziert, ist nicht gesagt, dass die Bedingung noch erfüllt ist. Zudem ist diese Bedingung nicht notwendigerweise für die Summe zweier solcher Polynome erfüllt. Daher ist \(Q\) kein Untervektorraum, weil die Bedingung für Abgeschlossenheit gegenüber der Skalarmultiplikation und Addition nicht generell erfüllt ist.
3. Teilmenge R ⊆ V
Die Menge \(R\) ist definiert als alle Funktionen in \(V\), die \(f(\frac{1}{2}) = 0\) erfüllen. Für einen Untervektorraum müssen folgende Kriterien erfüllt sein:
-
Nullvektor enthalten: Die konstante Funktion 0 liegt in \(R\), da \(0(\frac{1}{2}) = 0\).
-
Abgeschlossenheit gegenüber Addition: Sind \(f, g \in R\), dann ist \((f + g)(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2}) + g(\frac{1}{2}) = 0 + 0 = 0\), also ist \(f + g \in R\).
-
Abgeschlossenheit gegenüber Skalarmultiplikation: Ist \(f \in R\) und \(\lambda\) eine reelle Zahl, dann ist \((\lambda f)(\frac{1}{2}) = \lambda(f(\frac{1}{2})) = \lambda \cdot 0 = 0\), also ist \(\lambda f \in R\).
Fazit: \(R\) ist ein Untervektorraum von \(V\), weil es die drei notwendigen Kriterien erfüllt.
