Affine Untervektorräume mit Skalarprodukt

Question

Sei V ein endlich erzeugter euklidischer/unitärer Vektorraum, U ein UVR von V. Zeige, dass für alle v aus V, existiert ein eindeutiges w aus v + U, so dass ||w|| = min {||x|| : x aus v + U}

Ist weiter f die Abbildung von V = U direkte Summe U^(orthogonal) nach U^(orthogonal) mit f(u_1+u_2)=u_2, dann ist w=f(v)

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Answer 1

Hallo,

wir bestimmen w so, dass

$$\forall u \in U: \quad \langle w,u\rangle=0$$

Das geht: Wähle für U eine =Orthonormalbasis \((b_1, \ldots,b_n)\) und setze:

$$w:=v-\sum_{k=1}^n\langle v,b_k \rangle b_k$$

Dann minimiert dieses w die Norm. Denn für alle \(x=v+u\) gilt:

$$\|x\|^2==\|x-w+w\|^2=\|x-w\|^2+\|w\|^2$$

Die letzte Gleichung gilt nach dem Satz von Pythagoras, weil x-w aus U ist und daher senkrecht auf w steht.

Gruß Mathhilf