Skalarprodukt von Untervektorräumen

Question

Hallo,

Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und U₁,U₂ seien Unterräume von V mit dim(U₁,U₂)=n-1.

Wie zeigt man, dass für n≥2 gilt V=<U₁,U₂> und U₁∩U₂={0} genau dann, wenn n≤2? Hierbei sei immer U₁≠U₂

_{Vielen Dank im Voraus}

Comments

Mit dem Skalarprodukt hat \(<U_1,U_2>\) nichts zu tun.
Vielmehr handelt es sich um den von \(U_1\) und \(U_2\) erzeugten
Unterraum von \(V\), also \(U_1+U_2\).

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Hallo ermanus, muss ich dann hier mit der direkten Summe arbeiten? Und in wiefern berücksichtige ich dann n≤2, n≥2?

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Nein, einfache Summe.

Und bedenke die Dimensionsformel für Summen.

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Ich weiß, dass gilt dim(U₁+U₂)=dim(U₁)+dim(U₂)-dim(U₁∩U₂).

Die Dimension des Schnitts soll ja 0 sein, das heißt wir müssen uns noch den ersten Teil der Gleichung ansehen…

Kann man dann schreiben für n≥2 gilt dim(U₁+U₂)=(n-1)+(n-1)? Wie geht es dann weiter?

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Was soll denn    dim(U1,U2)=n-1   heißen ?

Beide Dimensionen sind n-1 ??

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Ja genau beide Unterräume haben die Dimension n-1

Answer 1

Sei \(B\) eine Basis von \(U_1\). Sei \(v\in U_2\setminus U_1\). Zeige dass \(B\cup \{u\}\) ein Erzeugendensystem von \(V\) ist.