Wie bestimmt man Basisvektoren (mit minimalen Indizes)?

Question

Gegeben soll sollen folgende Vektoren im Vektorraum R⁴ sein: b1= (1,1,1,-3) b2= (3,3,-4,-2) b3= (2,2,-2,-2) b4= (2,-2,1,-1)
Jetzt soll ich eine Teilmenge aus den obigen Vektoren bestimmen, welche eine Basis von U bildet. Und ich soll diese so auswählen, dass die Summe der Indizes der Vektoren minimal wird.
Kann mir wer helfen? Und was ist mit "Indizes" gemeint?

Comments

"Jetzt soll ich eine Teilmenge aus den obigen Vektoren bestimmen, welche eine Basis von U bildet"

Dazu müsstest du schon verraten was U sein soll ;).

Answer 1

Index ist die Zahl unten am b bei b1  b2  b3  etc.

Plural Indices. Man soll also die erstgenannten b's bevorzugt

benutzen.

Nehmen wir mal an U ist der von b1 bis b4 aufgespannte Unterraum von R^4.

Dann musst du erst den ersten nehmen und immer einen weiteren dazu, so dass

die genommenen lin. unabhängig sind.

Die ersten beiden sind es gewiss, denn b2 ist kein Vielfaches von b1.

Jetzt den dritten dazu und das Gl. system

x*b1 + y*b2 + z*b3 = o-Vektor betrachten.

Umformen auf Stufenform zeigt:  Rang=2.

Der 3. ist also von den ersten beiden lin. abh.

Also den 3. durch den 4. ersetzen und

x*b1 + y*b2 + z*b4 = o-Vektor betrachten.

Das hat Rang=3. Also bilden diese drei eine Basis von U.