Bilder der Basisvektoren bestimmen

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

(a) wurde als Musterlösung gezeigt, und zwar:

e1 = \( \frac{1}{3} \)(3,0,0) also

f(e1) = f((\( \frac{1}{3} \)(3,0,0)) = \( \frac{1}{3} \)f(3,0,0) = (1,2,1)

e2 = (2,1,0) - \( \frac{2}{3} \)(3,0,0) also

f(e2) =  f((2,1,0) - \( \frac{2}{3} \)(3,0,0)) = f(2,1,0) - \( \frac{2}{3} \)f(3,0,0)

= (1,2,0) - \( \frac{2}{3} \)(3,6,3) = (1,2,0) - (2,4,2) = (-1,-2,-2)

sowie e3 = -(2,1,0) + (1,1,1) + \( \frac{1}{3} \)(3,0,0)

= - (1,2,0) + (3,1,-2) + (1,2,1)

= (3,1,-1)

(b) muss ich allerdings selbst lösen und diese Musterlösung lässt viele Fragen von mir offen. Wie bestimmt man sinnvoll die Werte für f bzw. g (also wie weiß ich, dass \( \frac{1}{3} \)  zu e1 passt, ausser dass es einen sinnvollen Wert zurückgibt? Woher kommt dann \( \frac{2}{3} \)? Ich vermute, dass wenn man R² hat, dann wäre es \( \frac{1}{2} \) aber damit bekomme ich keine sinnvolle Antworten. Ich wollte auch fragen, wie komme ich auf die richtige Basis von e1, e2 und e3? Vielen Dank im Voraus! Bemerkung: Matrizen haben wir in meiner Uni bisher nicht gehabt und sie sind deswegen nicht erlaubt für die Lösung.

Answer 1

Aloha :)

a) Wenn du die Abbildung \(F\) als Matrix schreibst, kannst du die 3 Gleichungen zusammenfassen:$$F\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1 & 3 & 3\\2 & 1 & 6\\0 & -2 & 3\end{array}\right)\quad\implies$$$$F=\left(\begin{array}{rrr}1 & 3 & 3\\2 & 1 & 6\\0 & -2 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 0\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 3\\2 & -2 & 1\\1 & -2 & -1\end{array}\right)$$Die Spalten der Ergebnismatrix sind die Bilder der Basisvektoren.

b) Dasselbe Spiel wie gerade. Wir fassen alle 3 Gleichungen zusammen:

$$G\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1\\2 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}5 & 7 & -1\\1 & -1 & 3\end{array}\right)\quad\implies$$$$G=\left(\begin{array}{rrr}5 & 7 & -1\\1 & -1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1\\2 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}-4 & 6 & -3\\2 & -2 & 3\end{array}\right)$$Die Spalten der Ergebnismatrix sind die Bilder der Basisvektoren.

Oha, sorry, habe gerade gelesen, dass man das ohne Matrizen machen sollte...

Das ist mir aber zu fummelig. Ich lasse das als Kontroll-Lösung mal stehen.