ich sitze gerade an der Aufgabe b und habe auch die Lösungen dazu. Allerdings komme ich nicht darauf, wie man hier so einfach die zugehörigen Basisvektoren ausgewählt hat. Es wirkt so, als ob das offensichtlich wäre. Aber wie kommt man darauf?
Text erkannt:
Man betrachte die Matrix
$$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 2 & -3 \\ -2 & 4 & -3 & 4 \\ 3 & -6 & 5 & -7 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 4} $$
sowie die dazugehörige lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f(x)=A \cdot x \)
a) Man bestimme eine Basis von Kern( \( f \) ) und eine Basis von Bild \( (f) \)
b) Man bestimme eine Basis \( b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4} \) von \( \mathbb{R}^{4} \) und eine Basis \( c_{1}, c_{2}, c_{3} \) von \( \mathbb{R}^{3}, \) so daß \( f \) bezüglich dieser Basen die darstellende Matrix
$$ M=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 4} $$
besitzt.
(2)
c) Man entscheide mit Begründung, ob eine lineare Abbildung \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) mit \( \operatorname{Kern}(g)=\operatorname{Bild}(f) \) und \( \operatorname{Bild}(g)=\operatorname{Kern}(f) \) existiert.
Aufgabe:
Im \( \mathbb{R}^{4} \) sind in Abhängigkeit vom Parameter \( t \in \mathbb{R} \) die Vektoren
$$ u_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad u_{2}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right), \quad u_{3}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -1 \\ t \end{array}\right), \quad u_{4}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \\ t \end{array}\right), \quad u_{5}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right) $$
gegeben; ferner seien \( V=\left\langle u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\rangle \subseteq \mathbb{R}^{4} \) und \( W=\left\langle u_{3}, u_{4}, u_{5}\right\rangle \subseteq \mathbb{R}^{4} . \) Man
zeige, daß es genau eine lineare Abbildung
\( f: V \rightarrow W \quad \) mit \( \quad f\left(u_{1}\right)=u_{3}, \quad f\left(u_{2}\right)=u_{4} \quad \) und \( \quad f\left(u_{3}\right)=u_{5} \)
gibt, und untersuche \( f \) in Abhängigkeit von \( t \) auf Surjektivität bzw. Injektivität.
(3)
Lösung:
Mit \( b_{1}=e_{1} \) und \( b_{2}=e_{3} \) sowie \( b_{3}=u_{1} \) und \( b_{4}=u_{2} \) ist \( b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4} \) wegen
$$ \operatorname{det}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right)=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right|_{\mathrm{II} \leftrightarrow \mathrm{III}}-| \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1 & \\ 0 & 1 & 0 & 2 & \text { Dreiecks- } \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \text {matrix} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \end{array} $$
eine Basis von \( \mathbb{R}^{4}, \) und mit \( c_{1}=w_{1}, c_{2}=w_{2} \) und \( w_{3}=e_{3} \) ist \( c_{1}, c_{2}, c_{3} \) wegen
$$ \operatorname{det}\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)=\left|\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & \text { Laplace } & 1 & 2 \\ -2 & -3 & 0 & \text { 3. Spalte } & -2 & -3 \end{array}\right|=1 \neq 0 $$
eine Basis von \( \mathbb{R}^{3} . \) Wegen
$$ \begin{aligned} f\left(b_{1}\right) &=A \cdot e_{1}=w_{1}=1 \cdot c_{1}+0 \cdot c_{2}+0 \cdot c_{3} \\ f\left(b_{2}\right) &=A \cdot e_{3}=w_{2}=0 \cdot c_{1}+1 \cdot c_{2}+0 \cdot c_{3} \\ f\left(b_{3}\right) &=A \cdot u_{1}=0=0 \cdot c_{1}+0 \cdot c_{2}+0 \cdot c_{3} \\ f\left(b_{4}\right) &=A \cdot u_{2}=0=0 \cdot c_{1}+0 \cdot c_{2}+0 \cdot c_{3} \end{aligned} $$
besitzt die darstellende Matrix von \( f \) bezüglich dieser beiden Basen die Gestalt
$$ M=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \Omega & \Omega & \Omega & \Omega \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 4} $$
Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte
MfG
Pizzaboss
