Lineare Abbildung eindeutig durch Werte der Basisvektoren bestimmt, wie beweisen?

Question

Aufgabe:

Jede lineare Abbildung \(\Phi \in \mathrm{Hom}(V, W)\) ist eindeutig durch ihre Werte der Basisvektoren einer beliebigen Basis von \(V\) bestimmt. Dies ist zu zeigen.

Problem/Ansatz:

Da \(V\) ein Vektorraum ist und man nach dem Basisauswahlsatz eine Basis \((v_1, ..., v_n)\) wählen kann, hätte ich überlegt, dass die \(\Phi\) darstellende Matrix unsere lineare Abbildung \(\Phi\) eindeutig beschreibt, das stand bei uns in einer Definition. Somit wäre das für endlich-dimensionale Vektorräume klar (oder?).

Aber jetzt stand bei uns in einer Bemerkung, dass \(V, W\) nicht endlichdimensional sein müssen.. Da zählt das Argument der ausgewählten Basis ja nicht mehr, weil \(n = \infty\) wäre, oder? Wie geht man am besten an diese Aufgabe ran?

Answer 1

Sei \(B\subset V\) eine Basis von \(V\) und \(\Phi:V\rightarrow W\)

ein Vektorraumhomomorphismus.

Zu jedem \(b\in B\) sei \(w_b:=\Phi(b)\).

Für beliebiges \(v\in V\) gibt es eine endliche Teilmenge \(B_v\subseteq B\),

so dass \(v\in Span(B_v)\) ist, also \(v=\sum_{b\in B_v}c_b\cdot b\) mit

gewissen eindeutig durch \(v\) bestimmten \(c_b\in K\) für \(b\in B_v\).

Dann gilt \(\Phi(v)=\Phi(\sum_{b\in B_v} c_b\cdot b)=\sum_{b\in B_v} c_b\cdot \Phi(b)=\sum_{b\in B_v}c_b\cdot w_b\),

q.e.d.