Wie bekomme ich Vektoren mit einer Unbekannten raus?

Question

Gegeben sind folgende Vektoren im Vektorraum R⁴: b1= (1,1,1,-3) b2= (3,3,-4,-2) b3= (2,2,-2,-2) b4= (2,-2,1,-1)mit U=span {b1,b2,b3,b4}.Bisher habe ich raus, dass die Vektoren b1, b2, b4 die Basisvektoren sind.
Die Frage ist jetzt, für welches a∈ℝ  w= {3,-2,4,a}^T ∈ U ist ? Außerdem soll ich w als Linearkombination der gefundenen Basisvektoren darstellen.Ich sitze jetzt schon seit über 1,5 Stunden dran und komme einfach auf keine Lösung.

Answer 1

erstmal folgende Beobachtung:

Wenn w als Linearkombination von b1,b2,b4 dargestellt werden kann, ist w automatisch im Span.

Zur Lösung:

Gesucht sind Koeffizienten, so dass

a*b1+c*b2+d*b4=w

das gibt ein 4x4 Gleichungssystem, welches zu lösen ist.