Normalverteilung Standardabweichung in symmetrischem Intervall

Question

Ich mache gerade zur Übung ein paar Beispiele zum Thema Normalverteilungen. Bis jetzt gings eigentlich ganz gut, lediglich bei einer Nummer  komme ich nie auf die angegebene Lösung:

In einer Hühnerfirma werden die gelegten Eier nach Gewichtsklassen eingeteilt. 70% der Eier dieses Betriebs liegen in der Gewichtsklasse M (d.h. sie wiegen zwischen 53g und 63g). Wie groß ist die Standardabweichung δ, wenn Normalverteilung angenommen wird und das gegebene Intervall symmetrisch um μ liegt?

Laut beiliegender Lösung sollte δ = 3,6g herauskommen.

Bis jetzt habe ich folgenden Ansatz:

P(53 ≤ X ≤ 63) = 0,7

P(z₁ ≤ Z ≤ z₂) = 0,7

-> 2*Φ(z) -1 = 0,7 //da Intervall symmetrisch sein muss

-> z = 1,04

Weiter komm ich leider nicht, da ich nicht einmal weiß, ob jetzt z₁ = -1,04 und z₂ = 1,04 ist.

Bitte mit ausführlichem Rechenweg!

Comments

Ich mache gerade zur Übung ein paar Beispiele zum Thema Normalverteilungen. Bis jetzt gings eigentlich ganz gut, lediglich bei Nr. 4 komme ich nie auf die angegebene Lösung. Bin gerade echt am verzweifeln!

Bitte mit ausführlichem Rechenweg!

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Ist das jetzt die Fragestellung auf dem eingestellten Blatt?

EDIT: ok. Dann wird die unlesbare Version nun geschlossen.

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Ja, das ist sie. Habe das Foto leider nur auf meinem Smartphone, weshalb es nicht schärfer möglich ist.
Deshalb habe ich die Aufgabe jetzt selbst getippt. Trotzdem danke für deinen edit.

Answer 1

Hi,
wenn ich das richtig verstanden habe, musst Du folgendes Problem lösen.
Sei \( a = 53 \) und \( b = 63 \) dann ist \( \mu = \frac{a+b}{2} = 58 \) und es muss gelten
$$ \int_a^b \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2}\left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2}dx = 70\%  $$ Nach Transformation \( z = \frac{x-\mu}{\sigma} \) folgt, es muss gelten
$$ \Phi\left( \frac{b-\mu}{\sigma} \right) - \Phi\left(-\frac{b-\mu}{\sigma}\right) = 2\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - 1 = 70\%  $$ D.h $$ \frac{b-\mu}{\sigma} = \Phi^{-1} \left(\frac{1+70\%}{2} \right) = 1.04 $$ Daraus ergibt sich \( \sigma = 4.824 \)

Comments

Danke für deine Antwort!

Dieses Ergebnis habe ich auch einmal herausbekommen.
Leider macht mich die Lösung, die auf dem Übungszettel steht, stutzig. Da steht nämlich, dass σ = 3.6 sein sollte.

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Dann ist das halt falsch.

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Gut, dann hätte ich es doch richtig gehabt.
Vielen Dank für deine Mühe!