Habt ihr schon die Formel für die Verteilungsfunktion der Normalverteilung gelernt? Falls ja, könntest du dir die Lösung folgendermaßen herleiten:
Zunächst einmal wissen wir aus der Aufgabenstellung die folgenden Sachen:
1. Unsere Zufallsvariable X ist normalverteilt, also \( X \sim N(\mu, \sigma) \)
2. Der Erwartungswert der gegebenen Verteilung ist \( \mu = 6.9 \). Mit (1.) erhalten wir also eine Zufallsvariable \( X \sim N(6.9, \sigma) \).
3. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der Zufallsvariable zwischen 5.6 und 8.2 liegt beträgt 90%, also \( P(5.6 \leq X \leq 8.2) = 0.9 \). Diese Gleichung ist das selbe wie: \( P(X \leq 8.2) - P(X \leq 5.6) = 0.9 \), da "Wert zwischen 5.6 und 8.2, einschließlich dieser beiden Werte" das selbe ist wie "Wert kleiner oder gleich 8.2, aber nicht kleiner oder gleich 5.6". Genau genommen ist das nicht ganz richtig, habe noch einen kleinen Nachtrag hierzu ergänzt.
Nun kann mit der Verteilungfunktion gearbeitet werden, diese ist \( P(X \leq x) = \frac{1}{2} \cdot erfc(\frac{\mu - x}{\sqrt{2} \sigma}) \), wobei erfc die kumulative Error-Funktion ist. Wir erhalten folglich:
\( P(5.6 \leq X \leq 8.2) = 0.9 \Leftrightarrow P(X \leq 8.2) - P(X \leq 5.6) = 0.9 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot erfc(\frac{6.9 - 8.2}{\sqrt{2} \sigma}) - \frac{1}{2} \cdot erfc(\frac{6.9 - 5.6}{\sqrt{2} \sigma}) = 0.9\).
Lösen dieser Gleichung mittels eines CAS (wie bspw Wolframalpha, siehe hier: https://www.wolframalpha.com/input?i=solve+for+sigma%3A+1%2F2+*+erfc%28%286.9-8.2%29%2F%28sqrt%282%29*sigma%29%29+-+1%2F2+*+erfc%28%286.9-5.6%29%2F%28sqrt%282%29*sigma%29%29+%3D+0.9) liefert die Lösung \( \sigma = 0.790344 \).
Kleiner Nachtrag: technisch gesehen entspricht die Gleichung aus (3.) der Gleichung \( P(X \leq 8.2) - P(X \lt 5.6) = 0.9 \), da das Intervall geschlossen ist, also "Wert kleiner oder gleich 8.2, aber nicht kleiner als 5.6" . Falls man hier über Integration der Dichtefunktion arbeiten möchte, muss in dem 2. Integral also der Grenzwert von unten gegen 5.6 genommen werden.
