Beweis der Summenformel ∑^{n-1}_(k=0) (k+1)q^k= ...

Question

man soll folgende aussage beweisen:

ich weiß am ende ist es ein bisschen klein geworden, aber das ging nicht anders...

∀q ∈ ℝ \ {1}     ∀ n ∈ ℕ : ∑^n-1_k=0 (k+1)q^k= 1-(n+1)qⁿ nq^{n+1 /}(1-q)²

Comments

Benutze die Summenformel für endliche geometrische Reihen

(1-q^{n+1})/(1-q) = Σ q^k             

Daher abgeleitet:

((1-q^{n+1})/(1-q)) ' = Σ k*q^{k-1}     

Den Schluss kannst du durch Indexanpassung in Ordnung bringen.

EDIT: Die Formel, die du rechts hast ist nicht eindeutig lesbar. Da fehlen vermutlich noch Klammern. 

Rechne mal wie vorgschlagen. Ich denke, das schaffst du selbst. 

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oh vor dem nq^n+1 sollte ein + stehen...
das kann man doch nicht einfach weglassen oder?

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Das Strichlein heisst, dass du dort den Bruch noch ableiten musst. 

Das überlasse ich dir. 

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nein ich meine bei meiner darstellung habe ich das "+" vergessen, und dann machen deine ansätze für mich keinen sinn mehr..:/

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Wenn du für

  ∑^n-1_k=0 (k+1)q^k

^{eine Formel brauchst, kannst du Obiges machen.} 

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achsoo.. ich verstehe!
Nur eins noch, wie kommt man darauf das man das ableiten muss. zudem kannte ich die summenformel für endliche geometrische reihen vorher gar nicht..

gibt es auch noch einen anderen weg das zu beweisen oder ist dies der einzige?

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Du kannst es auch mit vollständiger Induktion versuchen. Ist aber eher mühsamer. 

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kannst du mir vielleicht erklären, was eine indexanpassung ist?

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Eine Umwandlung von Summe von k = 1 bis n zu Summe von m=0 bis n-1 .

Da müssen die Summanden dann m (statt k) enthalten.